d ( x1 + x 2 )2 =dx12+d(2x1x2)+dx2 2?dx12 dx2 2
dt
dt dt dt dt dt
.
(3) 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统，存 在跳跃和滞后现象 在激励比较强烈而系统的阻尼又很小的情况下,主共振的 幅频特性的曲线有反向弯曲。
.
(4) 某些有阻尼的非线性振动系统会出现自激振动，振幅不 衰减
.
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
谐波平衡法
谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用 系数未知的傅立叶级数表示，然后将外激励展成同样周期的 傅立叶级数，代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数 相等，得到未知系数的线性代数方程组，解方程组，得到振 动系统微分方程傅立叶级数形式的解。
讨论非线性系统的在外激励下的受迫振动：
x f(x,x )F (t)
设方程的解可以用周期为T 的傅立叶级数表示
x(t)a 0 a 1 nco n s t) (a 2nsin n t)( n 1 .
.
非线性振动方程的一般形式
线性振动方程 m x c x k xf(t) 非线性振动方程
f m ( x , x , x ) f c ( x , x , x ) f k ( x , x , x ) f ( x , x , x , t )
变质量 惯性力
非线性 阻尼力
t 0 , 0 , 0，
则上式变为
22 lg 2co s2 2 1co s0 0 2
.
方程解的非唯一性 1. 设初始条件为
22 lg 2co s2 2 1co s0 0 2
0= ，0= 0，则其解为
A
2 g cos
l2
运动分析：
在最高点 = ， = 0， d 0 dt
O
l
m
N
系统非稳定平衡点。可能出现三种运动情况：
.
第5章 非线性振动 5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程， 不能获得系统的频率、振幅等基本参数。
只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因 此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近 似解析方法主要用于弱非线性系统。
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述 5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
.
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。
工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行简化与近似的结果。
非线性 恢复力
非线性 激振力
.
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关 线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
.
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程 • 对于非线性系统
dnx1x2dnx1dnx2
dtn
dtn dtn
a. 停留在该顶点，尔后径直下落；
b. 调头沿原路返回；
c. 越过该顶点继续向前运动。 .
★ 对于一般单摆的运动方程（受周期性驱动力作 用的阻尼单摆） ：
m ld 2 ld m gsin F c o s t
d t2 d t
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
定性方法（几何法或相 空间平面法）
在相平面上研究解或平 衡点的性质，即相轨迹 在相平面上分布
情况；确定奇点、极限 环、特殊轨线，解的全 局性态。
分析方法：
定量方法

初值法（如 Rouge kutta 法）
数值解法：点胞边映映值射射法法法（
Shooting Mothed) 直接 跌代法
摄动法 （小参数法 渐进法（平均法）
A
★自由单摆的运动方程：
d2
dt2
g l
sin
当 很小，
线性近似： d 2 g (sin )
dt 2
l.
O
l
m
N
若 为任意值， (sin )
A
而 s i n (1 2 ) s i n 1 s i n 2
故自由单摆为非线性振动系统：
O
l
d2 gsin
dt2 l
m
N
令
d dt
，以及
发生非线性振动的原因：
1、内在的非线性因素
振动系统内部出现非线性回复力
单摆（或复摆） 的回复力矩
Mm(g l35)
3! 5!
振动系统的参量不能保持常数，
如漏摆、荡秋千。
自激振动 .
2、外在的非线性影响 非线性阻尼的影响 如 frk1vk2v2k3v3 策动力为位移或速度的非线性函数
如 F F (x ,x 2 ,x 3 ,v ,v 2 ,v 3 ) 线性振动与非线性振动的最大区别： 线性振动满足叠加原理 非线性振动不满足叠加原理
• 线性系统中自由振动总是衰减的
xAentsin(t)
.
(5) 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应成分 • 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频
率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.
• 由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目 将多于系统的自由度
.
(6) 存在多个简谐激振力作用下的组合振动
（ 近似法）解析法：
多尺度法 伽辽金法 谐波平衡法 等价线性化法
）
.
一、任意摆角情况下单摆的运动
线性系统（数学定义）：
若 f ( x ) 满足 f( x 1 x 2 ) f( x 1 ) f( x 2 ) 则 f ( x ) 是线性的； 若 g ( x ) 为非线性，则
g ( x 1 x 2 ) g ( x 1 ) g ( x 2 )
.
(7) 存在频率俘获现象
• 在非线性振动系统 中，当系统以 1 振动，受到另一 2
激励时，系统可能以其中之一的频率振动，即频率俘获
.
（8）在一定条件会出现分叉现象与混沌运动
Duffing方程的倍周期分叉现象与混沌运动
.
5.3 非线性振动问题的研究方法
实验方法：实物或模型实验 — —结合计算机处理数据