对空间四点 P，M，A，B 可通过证明下列结论成立来证 明四点共面． → ＝ xMA → ＋yMB →. (1)MP → ＝OM → ＋xMA → ＋yMB →. (2)对空间任一点 O，OP
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→ ＝ xOM → ＋ yOA → ＋ zOB → (x＋ y＋ z＝ (3)对空间任一点 O，OP 1)． → ∥AB → (或PA → ∥MB → 或PB → ∥AM → )． (4)PM
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图 761
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单
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【思路点拨】
结合图形，利用三角形法则或平行四边
形法则及数乘向量运算求解．
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1 1 → → → ＋OB → ＋OC → ＋OD → )． OC＋OD＝ (OA 2 4
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1．证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三 点共线．
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考向二 共线、共面向量定理
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[ 典例剖析] 【例 2】 已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，
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(3)∵M 是 AA1 的中点， 1→ → → → → ∴MP＝MA＋AP＝2A1A＋AP 1 1 1 1 ＝－2a＋a＋c＋2b＝2a＋2b＋c， 1→ → → → → 又NC1＝NC＋CC1＝ BC＋AA1 2 1→ → 1 ＝2AD＋AA1＝2c＋a，
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【解】
(1)∵P 是 C1D1 的中点，
→ ＝AA → ＋A→ → ∴AP 1 1D1＋D1P 1 → → ＝a＋AD＋2D1C1 1→ 1 ＝a＋c＋2AB＝a＋c＋ 2b.
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空间向量的线性运算的方法 (1)表示向量的关键：用已知向量表示未知向量时，一定 要结合图形进行，以图形为指导是解题的关键． (2)向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，
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等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把 这个法则称为向量加法的多边形法则．向量加法的三角形法 则、平行四边形法则在空间中仍然成立． (3)空间向量的坐标运算类似于平面向量．
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提醒：一般把未知向量放在一个封闭图形中，借助于加 减法法则逐步地转化为已知向量，从而完成运算．
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a· b 对于选项 C，设 b＝(0，－1,1)，则 cos 〈a，b〉＝ ＝ |a ||b |
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－1×1 1 ＝－2.因为 0° ≤〈a，b 〉≤180° ，所以〈a，b〉＝120° . 2× 2 a· b 对于选项 D，设 b＝(－1,0,1)，则 cos 〈a，b〉＝ ＝ |a ||b | －1－1 ＝－1.因为 0° ≤〈a，b 〉≤180° ，所以〈a，b〉＝180° . 2× 2 故选 B.
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[ 对点练习] 如图 762 所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点． 1→ 1 → → (1)化简：A1O－ AB－ AD； 2 2 → (2)设 E 是棱 DD1 上的点，且DE 2→ → ，AD → ，AA → 表示EO →. ＝ DD1，试用AB 1 3
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→ )＝EB → ＋BF → ＋EH → ＝EF → ＋EH →. ＋BD 所以 E，F，G，H 四点共面． 1 → 1→ 1 → → → → → (2)证明：因为EH＝AH－AE＝2AD－2AB＝2(AD－AB)＝ 1→ BD. 2 所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
1 1 1 → → ∴MP＋NC1＝ a＋ b＋c＋a＋ c 2 2 2
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演 实 பைடு நூலகம் 沙 场 点 兵
3 1 3 ＝2a＋2b＋2c.
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所以四边形 EFGH 是平行四边形． 所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分． 1 → → 1 → 1 → 1 1 → → 1 → 故 OM＝ (OE ＋OG) ＝ OE ＋ OG＝ × OA＋OB ＋ 2 2 2 2 2 2
【答案】 B
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[ 命题规律预测] 1. 高考在本节单独命题的几率较小，向量作为一
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种解题工具常常在求空间角，判断线面位置关系 命题规律 中得以体现． 2. 试题分两类：一是以客观题的形式考查基本运 算，二是在解答题中体现工具性． 预测 2016 年高考对本节知识单独命题的可能性 考向预测 依然不大，但应重视其在解答题中作为解题工具 出现.
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图 763
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用向量方法求证：
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(1)E，F，G，H 四点共面； (2)BD∥平面 EFGH； (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O， 1 → → → → → 有OM＝4(OA＋OB＋OC＋OD)．
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(3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC，OD，OE，
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OG. 1→ → 由(2)知EH＝2BD， 1→ → 同理FG＝ BD. 2 → ＝FG →， 所以EH 即 EH 綊 FG，
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【解析】
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各选项给出的向量的模都是 2， |a |＝ 2.
a· b 对于选项 A，设 b＝(－1,1,0)，则 cos 〈a，b〉＝ ＝ |a ||b | 1×－1 1 ＝－2.因为 0° ≤〈a，b〉≤180° ，所以〈a，b〉＝120° . 2× 2 a· b 对于选项 B，设 b＝(1，－1,0)，则 cos 〈a，b〉＝ ＝ |a ||b | 1×1 1 ＝2.因为 0° ≤〈a，b〉≤180° ，所以〈a，b〉＝60° ， 2× 2 正确．
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量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与 垂直．
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[ 基础真题体验] 考查角度[ 空间向量的数量积运算] (2014· 广东高考)已知向量 a＝(1,0，－1)，则下列向量中 与 a 成 60° 夹角的是( A．(－1,1,0) C．(0，－1,1) ) B．(1，－1,0) D.(－1,0,1)
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考向一 空间向量的线性运算 [ 典例剖析] 【例 1】 如图 761 所示， 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1
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→1＝a，AB → ＝b，AD → ＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC， 中，设AA C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：