当前位置:文档之家› 空间向量及其运算测试题答案

空间向量及其运算测试题答案

新课标高二数学同步测试(2-1第三章3.1)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,若B A 1=a ,11D A =b ,A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是( )A .c b a ++-2121B .c b a ++2121C .c b a +-2121D .c b a +--21212.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是 ( )A .OC OB OA OM --=2 B .OC OB OA OM 213151++=C .=++MC MB MA 0D .=+++OC OB OA OM 03.已知平行六面体''''ABCD A B C D -中,AB=4,AD=3,'5AA =,090BAD ∠=,''060BAA DAA ∠=∠=,则'AC 等于( )A .85B .85C .52D .504.与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是( ) A .(31,1,1)B .(-1,-3,2)C .(-21,23,-1)D .(2,-3,-22)5.已知A (-1,-2,6),B (1,2,-6)O 为坐标原点,则向量,OA OB 与的夹角是( )A .0B .2πC .πD .32π 6.已知空间四边形ABCD 中,c OC ,b OB ,a OA ===,点M 在OA 上,且OM=2MA ,N 为BC 中点,则MN =( ) A .cb a 213221+- B .c b a 212132++-C .c b a 212121-+D .c b a 213232-+7.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足000=•=•=•AD AB ,AD AC ,AC AB ,则BCD 是( )A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不确定图8.空间四边形OABC 中,OB=OC ,AOB=AOC=600,则cos BC ,OA = ( )A .21B .22 C .21 D .09.已知A (1,1,1)、B (2,2,2)、C (3,2,4),则∆ABC 的面积为( )A .3B .32C .6D .2610. 已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=,则||b a -的最小值为( )A .55 B .555 C .553 D .511 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题6分,共24分).11.若)1,3,2(-=a ,)3,1,2(-=b ,则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 . 12.已知空间四边形OABC ,其对角线为OB 、AC ,M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点,点G 在线段MN 上,且GN MG 2=,现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ,有OG =x OC z OB y OA ++,则x 、y 、z 的值分别为 . 13.已知点A(1,2,11)、B(4,2,3),C(6,1,4),则ABC 的形状是 .14.已知向量)0,3,2(-=a ,)3,0,(k b =,若b a ,成1200的角,则k= .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15.(12分)如图,已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ,M 为'BD 的中点,点N 在'AC '上,且|'|3|'|A N NC =,试求MN 的长. 16.(12分)如图在空间直角坐标系中BC =2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是 )0,21,23(,点D 在平面yOz 上,且∠BDC =90°,∠DCB =30°. (1)求向量OD 的坐标;(2)设向量AD 和BC 的夹角为θ,求cos θ的值O'N MD'C'B'A'C BADzy x 图17.(12分)若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四面体的对棱两两垂直. 18.(12分)四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是一个平行四边形,AB ={2,-1,-4},AD ={4,2,0},AP ={-1,2,-1}. (1)求证:PA ⊥底面ABCD ; (2)求四棱锥P —ABCD 的体积; 19.(14分)如图所示,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CA =CB =1,∠BCA =90°,棱AA 1=2,M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.(1)求BN 的长;(2)求cos<11,CB BA >的值; (3)求证:A 1B ⊥C 1M .20.(14分)如图,已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)假定CD =2,CC 1=23,记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值;(3)当1CC CD的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明.参考答案一、1.A ;解析:)(21111BC BA A A BM B B M B ++=+==c +21(-b a +)=-21a +21b +c .评述:用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,本题考查的是基本的向量相等,与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2.A ;解析:空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可.只有选项A .3.B ;解析:只需将A A AD AB C A '++=',运用向量的内即运算即可,2||C A C A '='.4.C ;解析:向量的共线和平行使一样的,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即b a b a b λ=⇔≠//,0. 5.C ;解析:||||cos b a b a ⋅⋅=θ,计算结果为-1.6.B ;解析:显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=. 7.B ;解析:过点A 的棱两两垂直,通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形.8.D ;解析:建立一组基向量OC OB OA ,,,再来处理BC OA ⋅的值. 9.D ;解析:应用向量的运算,显然><⇒>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ,从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21. 10.C ; 二、11.56;解析:72||||,cos -=>=<b a ba b a ,得753,sin >=<b a ,可得结果.12.OC OB OA 313161++; 解析:OC OB OA OA OC OB OA OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13.直角三角形;解析:利用两点间距离公式得:222||||||AC BC AB +=.14.39-;解析:219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ,得39±=k .三、15.解:以D 为原点,建立如图空间直角坐标系.因为正方体棱长为a ,所以B (a ,a ,0),A'(a ,0,a ),'C (0,a ,a ),'D (0,0,a ).由于M 为'BD 的中点,取''A C 中点O',所以M (2a ,2a ,2a ),O'(2a ,2a,a ).因为|'|3|'|A N NC =,所以N 为''A C 的四等分,从而N 为''O C 的中点,故N (4a ,34a ,a ).根据空间两点距离公式,可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=. 16.解:(1)过D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°,BC =2,得BD =1,CD =3,∴DE =CD ·sin30°=23.OE =OB -BE =OB -BD ·cos60°=1-2121=. ∴D 点坐标为(0,-23,21),即向量OD [TX →]的坐标为{0,-23,21}. (2)依题意:}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA , 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ,则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17. 证:如图设321,,r SC r SB r SA ===,则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ,)(2132r r +,)(2121r r +,321r ,)(2131r r +,221r ,由条件EH=GH=MN 得: 223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ,∵1r ≠0,23r r -≠0, ∴1r ⊥(23r r -)即SA ⊥BC . 同理可证SB ⊥AC ,SC ⊥AB .18. (1)证明:∵AB AP ⋅=-2-2+4=0,∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=-4+4+0=0,∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线,∴AP ⊥底面ABCD . (2)解:设AB 与AD 的夹角为θ,则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ (3)解:|(AB ×AD )·AP |=|-4-32-4-8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测:|(AB ×AD )·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积).评述:本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力,综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.19.如图,建立空间直角坐标系O —xyz . (1)依题意得B (0,1,0)、N (1,0,1) ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.(2)依题意得A 1(1,0,2)、B (0,1,0)、C (0,0,0)、B 1(0,1,2) ∴1BA ={-1,-1,2},1CB ={0,1,2,},1BA ·1CB =3,|1BA |=6,|1CB |=5∴cos<1BA ,1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . (3)证明:依题意,得C 1(0,0,2)、M (21,21,2),B A 1={-1,1,2},M C 1={21,21,0}.∴B A 1·M C 1=-2121++0=0,∴B A 1⊥M C 1,∴A 1B ⊥C 1M . 图评述:本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20.(1)证明:设CB =a ,CD =b ,1CC =c ,则|a |=|b |,∵CB CD BD -==b -a , ∴BD ·1CC =(b -a )·c =b ·c -a ·c =|b |·|c |cos60°-|a |·|c |cos60°=0, ∴C 1C ⊥BD .(2)解:连AC 、BD ,设AC ∩BD =O ,连OC 1,则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO (a +b ),2111=-=CC CO O C (a +b )-c∴CO ·211=O C (a +b )·[21(a +b )-c ]=41(a 2+2a ·b +b 2)-21a ·c -21b ·c =41(4+2·2·2cos60°+4)-21·2·23cos60°-21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3,|O C 1|=23,∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO (3)解:设1CC CD=x ,CD =2, 则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ,∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足:D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ,AD =b ,DC =c , ∵C A 1=a +b +c ,D C 1=a -c ,∴D C C A 11⋅=(a +b +c )(a -c )=a 2+a ·b -b ·c -c 2=xx 242+-6, 令6-242xx -=0,得x =1或x =-32(舍去).评述:本题蕴涵着转化思想,即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

相关主题