【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= （2）2432)(x x x f += (3）1)(23--=x x x x f（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-=（8）221()lg lgf x x x =+； （9）xx x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0)(0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +⎧∈⎪⎪≠+⎨⎪⎪⎩⎧∈⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩⎧+≠≠⎪⎨=+≠⎪⎩==常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：1)x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪=±⎪⎪⎩⎩两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。

结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。

结论3 )(x f 是任意函数，定义域关于原点对称，那么)(x f 是偶函数。

结论4 函数)()(x f x f -+是偶函数，函数)()(x f x f --是奇函数。

结论5 已知函数)(x f 是奇函数，且)0(f 有定义，则0)0(=f 。

结论6 已知)(x f 是奇函数或偶函数，方程0)(=x f 有实根，那么方程0)(=x f 的所有实根之和为零； 若)(x f 是定义在实数集上的奇函数，则方程0)(=x f 有奇数个实根。

五、关于函数按奇偶性的分类：全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征例1：偶函数)(x f y =在y 轴右则时的图像如图（一），则y 轴右侧的函数图像如图（二）。

七、关于函数奇偶性的简单应用 1、利用奇偶性求函数值例1：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，求)2(f 的值（2）已知53()531f x x x x =--+11([,])22x ∈-的最大值M ,最小值为m ,求M m +的值 2、利用奇偶性比较大小例2：（1）已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。

（2）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()2f a f ≥-，求a 的取值范围. （3）定义域为R 的函数()x f 在()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则 A. ()()76f f > B. ()()96f f > C. ()()97f f > D. ()()107f f > 3.利用奇偶性求解析式例3：（1）已知)(x f 为偶函数，时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 解析式？ （2）已知()f x 为奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，当0x <时，求)(x f 解析式？ 4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？2 -1 1 1 -2 XY 图（二）0 1 21X Y图（一）x0 y1x 0 y 1 x 0 y1x0 y16、利用奇偶性求参数的值例6：（1）定义R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞单调递减,若)123()12(22+-<++a a f a a f 恒成立，求a 的范围.（2）定义R 上单调递减的奇函数()f x 满足对任意t R ∈，若22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的范围. （3）已知()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足()()()(),31f xy f x f y f =+=，求不等式()()82f x f x +-<解.7、利用图像解题例7：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式()0<x f 的解是 .（2）若函数()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增,(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为______. 8.利用定义解题例8：已知1()21xf x a =-+为奇函数，则a =________。

已知21()(32)()x f x x x a +=+-为偶函数，则a = ________。

9.利用性质选图像例9：（1）设1a >，实数,x y 满足1||log 0a x y-=，则y 关于x 的函数的图像形状大致是A B C D（2）函数x xx x e e y e e--+=-的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ）【奇偶性专题】训练1、判断下列函数的奇偶性（1）)0(1≠=x xy ；（2）14+=x y ； （3）x y 2=； （4）；)1(log 22++=x x y （5）；x e x f x-+=)1ln()(2 （6）；⎩⎨⎧<+≥-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f【变题】已知()f x 对一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 的奇偶性如何？2、（1）如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =_____ （2）若a x f xxlg 22)(--=为奇函数，则实数=a _____（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=， 那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =_______（4）已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=， 则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________ （5）定义在)1,1(-上的奇函数1)(2+++=nx x mx x f ，则常数=m ____,=n _____ （6）函数c bx ax y ++=2是偶函数的充要条件是___________ （7）已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数， 若7)7(-=-f ，则=)7(f _______3、若)(x f )(R x ∈是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是A. ))(,(a f a -B. ))sin (,sin (α--α-fC. ))1(lg ,lg (af a -- D. ))(,(a f a --4、设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于 A. 0.5 B. 5.0- C. 1.5 D. 5.1- 4、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D. 以上均不对 6、函数)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 可能是奇函数也可能是偶函数 D. 不是奇函数也不是偶函数 7、下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 A. ()sin f x x = B. ()1f x x =-+ C. ()1()2x x f x a a -=+ D. 2()ln 2xf x x-=+ 8、已知函数=-=+-=)(.)(.11lg)(a f b a f xxx f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b19、设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果23lg )1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f10、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =， （1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。

【变题】设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线1=x 对称，求证：)(x f 是周期函数。

11、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ， 求实数a 的范围。