解：（1）∵lg[f(x)]是奇函数，∴ lg[f(x)]+lg[f(-x)]=0
即lg[ x2 a2 -ax]+xlg2[ a2
lg[x2+a2-a2x2]=0
+ax]=0，
∴x2+a2-a2x2=1，(1-a2)x2=1-a2
∵x∈R ∴1-a2=0，a=1
（2）可判断f(x)在(-∞,+∞)上是单调 递减函数，
（2）若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)<3。
解：（1）设x1、x2∈R且x1<x2，则 x2-x1>0，∴f(x2-x1)>1
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0 ∴f(x1)<f(x2) 即f(x)是R上的增函数。
例6、已知函数f(x)= x2 a2 -ax(a>0)
（1）若lg[f(x)]为奇函数，求a的值。
（2）若a≥1，判断f(x)在(-∞,+∞)上的单 调性，并证明。
（3）若a=1，数列{an}的前n项和为Sn， 满足S1=1，an>0，an=f(Sn-1)(n≥2)，求数 列{an}的通项公式。
（3）∵a=1 ∴an=f(Sn-1)= Sn21 1-Sn-1
∴an+Sn-1= Sn21 1 由于an=Sn-Sn-1 ∴Sn= Sn21 1
∴Sn2-S2n-1=1(n≥2)
∴数列{Sn2}是公差为1，首项为S12=a12=1
的等差数列
1
(n=1)
∴Sn2=n
∴an= n
Sn=
n
n an=
（3）g(x)=(x+1)(x2+x-2)-a[(x+1)2+(x+1)-2-x] =x3+(2-a)x2-(1+2a)x-2
g′(x)=3x2+2(2-a)x-(1+2a)
∵g(x)在(-1,2)上是减函数
∴
g′(-1)≤0 g′(2)≤0
解得a≥
19 6
此题中，函数与导数的有机结合应引起 重视，因为导数在函数的单调性中的应 用n
n 1 (n≥2)
（2）f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，∴f(2)=3
∴原不等式可转换为f(3m2-m-2)<f(2)
∵f(x)是R上的增函数，
于是有3m2-m-2<2
解得-1<m<
4 3
例5、函数f(x)对一切实数x、y均有f(x+y)f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0。
（1）求f(0)的值。
上 面 两 个 例 题 中 的 对 称 轴 x=a 中 的 a 可取若干值，在实际问题中要注意运 用，尤其要注意与大题的综合运用， 可当做模型加以记忆。
例3、已知函数f(x)是在R上的偶函数，且 满足f(x+1)+f(x)=1，当x∈[1,2]时，f(x)=2x，求f(-2003.5)的值
解 ： 由 f(x+1)+f(x)=1 ， 得 f(x+1)=1-f(x)=1[1-f(x-1)]=f(x-1)
法一：任取x1<x2，f(x2)-f(x1)=a(x1-x2)+
( x22 a2 x12 a2 )
a(x x ) 1 2
x22 x12 x22 a2 x12 a2
( x2 x1 )[( x1 a x12 a2 )( x2 a x22 a2 )] x12 a2 x22 a2
当a≥1时，x1-a x12 a2<0，x2-a x22 a2<0
高三数学复习，已到了第二阶段，即专 题复习阶段及综合复习阶段。这个阶段的复 习，对提高学生的解题能力非常重要；这是 因为在这段复习中往往融汇了高中数学的各 章节的知识点。综合性强对学生的运算能力、 推理能力、逻辑思维能力、空间想象能力、 创新能力、创新意识及分析问题解决问题的 能力要求高了，对学生的解题技巧、解题能 力的要求增强了。所以，通过专题复习，强 化重点，突破难点，强化技能往往能达到事 半功倍的效果。
例1、已知函数y=f(x)是R上的偶函数且对 称轴为x=a(a≠0)，求函数y=f(x)的周期 解：由已知，f(-x)=f(x) ——① 由对称轴x=a，得f(-x)=f(x+2a)——② 由①，②可得f(x+2a)=f(x) 即f(x)的一个周期为T=2|a|
例2、已知函数y=f(x)是R上的奇函数，且 对称轴为x=a，求函数y=f(x)的周期 解：由已知f(-x)=-f(x) ——① 由对称轴为x=a，得f(-x)=f(x+2a)——② 由①，②可得f(x+2a)=-f(x) 即f(x)=-f(x+2a)=-[-f(x+4a)]=f(x+4a) 所以f(x)的一个周期为T=4|a|
（2）求f(x)的解析式。
（3）当函数g(x)=(x+1)f(x)-a[f(x+1)-x]在区 间(-1,2)上是减函数时，求实数a的范围。
解：（1）令x=1，y=0 得f(1)-f(0)=f(1+1)·1=2，∴f(0)=-2
（2）令y=0，得f(x)-f(0)=x(x+1) ∴f(x)=x2+x-2
即f(x+1)=f(x-1)，∴f(x)的周期T=2
又∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(-2003.5)=f(2003.5)=f(1.5)=2-1.5=0.5
例4、函数f(x)对任意的a、b∈R，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x>0时，f(x)>1。
（1）求证：f(x)是R上的增函数。
x2-x1>0
x12 a2 x22 a2>0
∴f(x2)-f(x1)<0 ∴f(x2)<f(x1)
∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数。
x
法二：f′(x)= x2 a2 -a=
∵a≥1 ∴ x-a x2 a2 <0
xa x2 a2
∴fx′2 (ax)2<0
∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数。