八上培优5 半角模型 方法：截长补短往往出现90。

套45°的情况，或者120°套60°的情况。

还有2 求证的结论一般是线段的和与差。

解决的方法是：截长补短构造勤学早和新观察均有专题。

勤学早在第 49页，新观察在第34页，新观察培优 也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。

这些题大同小异，只是图形 略有变化而已。

证明过程一般要证明两次全等。

4.如图 1.在四边形 ABCD 中. AB=AD / B+Z D=180，E 、F 分别是边 BC CD上的点，且/ BAD 二龙EAF全等三角形。

旋转移位造全等，翻折分割构全等。

截长法，补短法。

图形中, 套的情况。

求五边形ABCD 的面积.(1)求证：EF 二BE+DF(2)在(1)问中，若将△ AEF 绕点A 逆时针旋转，当点 E 、F 分别运动到BC顶点作一个60°的角，角的两边分别交 AB AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索 线段BE CF EF 之间的数量关系，并加以证明.勤学早第40页试题1. (1)如图，已知 AB=?AC, / BAC=90，?/?MAN=4°5 ,过点 C 作 NC?t AC 交AN 于点N,过点B 作BM 垂直AB 交AM 于点M,当/ MANS / BAC 内部时，求 证：BM+CN?=MN;G,使 BG 二CN 连接 AG 证^ABd A ACN(SAS)「AN 二AC /CD 延长线上时，如图 2所示，试探究EF 、BE DF 之间的数量关系.mi3.如图3, 在四边形 ABDC 中, Z B+Z C=180，DB=DC / BDC=120，以 D 为证明:延长MB 到点 FAE国2BAG二，/ NAC. !_•••/ GAM M GAB + / BAM=^ CAN+/ BAM=4°= L / MAN,<△ AMNm AMG(SAS),'二MN= MG= BM + BG= B十NC.证明二：（此证明方法见新观察培优第27页例3）⑵如图，在（1）的条件下，当AM和AN在AB两侧时，⑴的结论是否成立？请说明理由.解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二120 °套60 °2. 如图，△ ABC中,CA=CB,Z ACB=120 ,E 为AB上一点，/ DCE=60 , / DAE二120°，求证:DE=BE 证明:（补短法）延长EB至点F,使BF=AD连接CF，则△ CBF^A CAD △CED^A CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如图,△ ABC中,CA=CB,Z ACB=120，点E为AB上一点，/ DCE MDAE=60 °，求证:AD+DE= BE.证明：（截长法）在BE上截取BF=AD连接CF,易证△ CBF^A CAD△ CE医ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27 页例4如图，△ ABC是边长为1的等边三角形，△ BDC是顶角，/ BDC= 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB AC于M N,连结MN,试求△ AMN的周长.分析:由于/ MDN=60 , / BDC=120，所以/ BDMf Z CDN=60，注意至J DB=DC考虑运用“旋转法”将/ BDM RnZ CDN移到一起，寻找全等三角形。

另一方面△ AMN勺周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CNt想MN二 BM+CN,三角形全等解决.新观察培优68页例5如图，点A、B(2,0)在x轴上原点两侧，C在y轴正半轴上，0C平分/ ACB.(1) 求A点坐标;⑵如图1, AQ在/ CAB内部，P是AQ上一点，满足/ACB M AQBA P二BQ试判断△ CPQ勺形状，并予以证明；⑶如图2. BD丄BC交y轴负半轴于 D. / BDO=60 , F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足/ CFD+Z E=180° .当F在AC上移动时，结论:①CE+CF值不变；②CE- CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其分析:(1)由/ A0C^^ BOC得AO= BO=2, A(- 2,0).(2) 由厶ACP^A BCQ得CP二CQ.⑶由BD丄BC,Z BDO=60，可证得等边△ ABC.由角平分线和DB_±BC的条件,运用对称性知DA丄AC,连结DA,加上条件/ CFD+Z E=180°，可证得^ ADF△ BDE,于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三2 。

套4.(1)如图1,在四边形ABC［中, AB=AD,Z B+Z D=180 , E,F 分别是BC,CD上的点，且/ EAF」/ BAD 求证:EF= BE+ DF;2⑵如图2,在(1)的条件下，若将△ AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时, 则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE- DF解:(1)EF=BE+DF,延长FD到点G 使DG二BE连接AG,<△ABE^A ADG (SAS),..二AE = AG,Z BAE Z DAG vZ EAF=1Z BAD,2•••/ GAF y DAG# DAF=/ BAE+Z DAF=/ BAD- / EAF= / EAF, /-Z 'EAF=/ GAF,<△AEF^A GAF(SAS),./ EF= FG, v FG=DG+ DF=BE+ D.F,EF二BE +DF; (2)EF=BE DF.外地试题:4. 探究：如图①，点E、F分别在正方形ABCD勺边BC CD上，Z EAF=45 , 连结EF，求证：EF=BE+DF 应用：如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC CD 上, AB=AD Z B+ZD=90°，Z EAF=1Z BAD 若EF=3, BE=2 J则DF=2(1) 思路梳理 ••• AB=AD •••把^ ABE 绕点A 逆时针旋转90°至^ ADG 可使AB 与AD 重合.•••/ ADG M B=90°,A Z FDG=^ADG ^ADC=180，贝U 点 F 、D G 共线.(2) 类比引申F 分别在正方形 ABCD 勺边BC CD 上，/ EAF=45，连接 EF ,求证: EF =BE +DF根据，易证△ AFG ^,从而得EF=BE+DF圏®原题：如图 点E 、1,如图2,四边形 ABCD 中，AB=AD / BAD=90点E 、F 分别在边 BC CD 上，/ EAF=45° .若/ B 、/ D 都不是直角，但当/ B 与/ D 满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF 请给出证明;(3) 联想拓展如图 3,在^ ABC 中, / BAC=90，AB 二AC 点 D E 均在边 BC 上,且/ DAE=45， 猜想BD DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程.7. (1)如图 1,在四边形 ABCD 中, AB=AD / B=Z D=90°，E 、F 分别是边 BC CD 上的点，且 AE=AF / EAF=1 / BAD 现有三种添加辅助线的方式：①延长2EB 至G,使BG=BE 连接AG ②延长FD 至G,使DG=BE 连接AG ③过点A 作 AGIEF ,垂足为G;选择其中一种方法添加辅助线，求证： EF=BE+FD (2)如图 2,在四边形 ABCD 中, AB=AD 若/ B+Z D=180°,Z EAF=1 / BAD2证明(1)中结论是否还成立?(3)如图 3,在四边形 ABCD 中, AB=AD / B+Z ADC=180 , E 、F 分别是边 BC CD 延长线上的点，且,EAF* / BAD ("中的结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.8 (1)如图1,在四边形 ABCD 中, AB=ADCD 上的点，且/ EAF=" / BAD 求证：EF=BE+FD2/ B=Z D=90° , E 、F 分别是边 BCA囹5(2)如图2,在四边形 ABCD 中，AB=AD / B+Z 0=180°, E 、F 分别是边BC CD 上的点，且/ EAF=1 / BAD (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明;2若不成立，请写出线段 EF 、BE FD 它们之间的数量关系，并证明.(3) 如图 3,在四边形 ABCD 中, AB=AQ / B+Z ADC=180 , E 、F 分别是边 BC CD 延长线上的点，且/ EAF=1 / BAD (1)中的结论是否仍然成立？若成立, 2 请证明；若不成立，请写出线段 EF 、BE 、FD 它们之间的数量关系，并证明.半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?1. 如图1,在平面直角坐标系中，△ AOB 为等腰直角三角形，A (4, 4)(1) 求B 点坐标;(2) 如图2,若C 为x 正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角△ ACD / ACD=90，连接 0D 求/ AOD 的度数;(3)如图3,过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E , F 为x 轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰 Rt △ EGH 过A 作x 轴垂线交EH 于点M 连FM 等式AM=FM+O 是否成立？若成立，请说明；若不成立，说明理由.7卜<\G JA解：(1)如图所示，作AE10B于E, 即/ ACF+Z DCF=90 ,•••/ FDC+Z DCF=90 ,•- A (4, 4),••• 0E=4•••/ ACF=/ FDC 又•••/ DFC W AEC=90 ,•••△ AOB为等腰直角三角形，且AE丄•••△ DFC^^ CEA( AAS),OB••• EC=DF=4 FC=AE•- A (4, 4),••• OE=EB=4 ••• AE=OE=4•••OB=8••• FC=OE 即卩OF+EF二CE+EF•••OF二CE•-B (8, 0);•••OF二DF(2)如图所示，作AE! OB于E, DF •••/ DOF=45 ,丄OB于F, •••△ AOB为等腰直角三角形, •••△ ACD为等腰直角三角形, •••/ AOB=45 ,••• AC二DC / ACD=90 •••/ AOD M AOB# DOF=90 ;(3) AM=FM+O成立，理由：如图所•••/ OEF/ AEN EF=EN示，在AM上截取AN=OF连EN 又•••△ EGH为等腰直角三角形, •- A (4, 4),• / GEH=45 ,即/ OEF+/ OEM=45 ,••• AE=OE=4• / AEN/ OEM=45又•••/ EAN/ EOF=90 , AN=OF 又•••/ AEO=90 ,•••△ EAN^A EOF( SA9, •••/ NEM=45 =/FEM即 AM=FM+OF【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐 标与图形性质的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角 形解决问题，属于中考常考题型.2. 如图，直线L 交x 轴、y 轴分别于 A B 两点，A(a , 0) B(0, b ),且(a-b ) 2+|b-4|=0(1) 求A B 两点坐标;(2) C 为线段AB 上一点，C 点的横坐标是3, P 是y 轴正半轴上一点，且满足 / OCP=45，求P 点坐标;(3)在(2)的条件下，过B 作BD 丄OC 交OC OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且/ CEA=/ BDO 试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由.••• a=4, b=4.••• A (4, 0), B (0, 4);又••• EM 二EM二 AM-MF 二AM-MN 二，N •••△ NEM^A FEM( SAS,二 AM-MF=O ,••• MN=M ,(1)解：•••( a-b ) 2+|b-4|=0 ,3. 如图，已知A (a, b), AB丄y轴于B,且满足|a-2|+ (b-2 ) 2=0,(1)求A点坐标;(2)如图1,分别以AB AO为边作等边三角形△ ABC^n^AOD试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系，并说明理由;(3)如图2,过A作AElx轴于E,点F、G分别为线段OE AE上两个动点, 满足,F BG=45，试探究廿的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，请说明理由.2017-2018江汉期中如图点卩为^ABC的外角/ BCD的平分线上一点，PA二PB(1)求证：/ PAC=^ PBC(2)作PE1BC于E, 若AC=5 BC=11,求S A PCE PBE(3) 若M N分别是边AC BC上的点，且/ MP N2 / APB则线段AM MN BN2••• PC 二PC••• PM 二PQ / MPA=QPB•••/ APM £ QPA"PQ+^ QPBE, PF 丄 AC 于 F , ••• PC 平分/ DCB ••• PE 二PF由（1）知，Rt △ PAF^ Rt △ PEB ••• AF=BE••• AF=AC+CF BE=BC -CE••• AC+CF 二BC-C,E 二 5+CF=11-CE ••• CE=CF=3在 Rt △ PAF 和 Rt △ PEB 中,PF =PE S PFC 二S PEC ,PA ^PB,••• Rt △ PAF ^ Rt △ PEB ••• Rt △ PAF ^ Rt △ PEB …SPAF=S PEB ,•••/ PAC W PBC…S PCE: S ^PBE=S PFC : SPFA1= -CF X PF :21-AC X PF 2(2)如图2,过点P 作PF 丄AC 于F , ••• PE! BC CP 是/ BCD 的平分线, (3) 如图3,在BC 上截取BQ 二AM ••• PE 二PF / PCF=/ PCE在^ PMAFH A PQB 中,••• CF=CE=3: 8;即：/ APB W MPQ 【点评】此题是三角形综合题，主要构造全等三角形判断出/ APB 玄MPQ是一道中等难度的中考常考题.••• BN=AM+MN 2015-2016江岸八上期末 已知在△ ABC 中, AB=AC 射线BM BN 在/ ABC 内部,分别交线段AC 于点G H.(1)如图 1,若/ ABC=60、/ MBN=30，作 AE1BN 于点 D,分别交 BC BM 于点E 、F .①求证：CE=A （G ②若BF=2AF 连接CF ,求/ CFE 的度数;（2）如图2,点E 为BC 上一点，AE 交BM 于点F ,连接CF,若/ BFE 玄BAC=2【分析】（1）①由AB=AC / ABC=60得到△ ABC 为等边三角形，根据等边三 角形的性质得到/ BAC 玄ACB=60 , AB=CA 求得/ BFD=/ AFG=60，推出/•••/ MP N Z / APB2 •••/ MPN 』/ MPQ 2考查了全等三角形的判定和性质，角 平分线定理和角平分线的定义， 解（1） •••/ MPN M QPN 的关键是判断出PE 二PF 解（2）的关 在△MPN 和HPC 中,键是求出CE=CF=3解（3）的关键是 ••• MN=QJNCEAC=/ GBA证得^ GBA^^ EAC,根据全等三角形的性质即可得到结论；②如图1,取BF的中点K连接AK由BF=2AF推出△ FAK是等腰三角形，根据等腰三1角形的性质得到y FAK=y FKA求得y AKF = 2 y BFD = 30°,根据全等三角形的性质得到AG=CE BG=AE / AGB y AE,推出△ GAK^A EFC,根据全等三角形的性质得到/ CFE玄AKF即可得到结论;(2)如图2,在BF上取BK=AF连接AK,推出/ EAC玄FBA根据全等三角形形的性质得到AF=FK即可得到结论.••• AD L BN y MBN=30 ,•••△FAK是等腰三角形,【解答】解：(1 )①••• AB=AC••• CE二AGABC=60 ②如图1,取BF的中点K连接AK•••△ABC为等边三角形, •••BF=2AF则/ BAC y ACB=60 , AB=CA • AF=BK=FK=1BF,2•••/ BFD玄 AFG=60 , •••y ABF+y BAF=60 , y BAF+y EAC=60 •••y EAC y GBA在^ GBA与△ EAC 中,y GB AF/ EACy GA孚y ECA •••/ FAK y FKA• y BFD y FAK+y FKA二y AKF • y BFD=60 ,丄y AKF = 2 y BFD = 30°,的性质得到S ABK=S A ACF , / AKB玄AFC证得△ FAK是等腰三角形，根据等腰三角••• AG=CE BG=AE / AGB ^AEC ••• KG=BG-BK=AE-AF=FE方法二：只要证明^ ADB^A BFC 即可•••△ FAK 是等腰三角形,••• AF=FK•••/ BFE=/ BAF+Z ABF, •••/ BFE=/ BAC •••/ BAF+/ EAC=/ BAF+ABF •••/ EAC=/ FBA 在A ABK 与△ ACF 中,解决问题;C如图2,在BF.BK=AF=FK --S ABK = S AFK , ・ S ABF =SA AB K+ S AAFK=2S ABK=2SACF ,.S v ABF =2SVACF上取BK=AF 连接AK故答案为：2.AG=CE/ AG */ AEC/ ABJ FACBK= AF ,...S ABK = S ACF , / AKB=/ AFCKG^FE,•••/ BFE=2/ CFE •••/ BFE=2/ AKE•••/ CFE /AKF•••/ BFE=2/ AKF=/ AKF+KAF•••/ CFE /AKF=30 ;•••/ AKF=/ KAF,。