数学故事
古典密码术
大家经常见到的藏头诗实际是一种加密术，它通过坐标变换的方式隐藏了秘密，这个例子虽然很简单，但它反映出了加密术的本质－－变换坐标系。

加密术最早应用于古代战争，当时是靠士兵随身携带的信件来传递情报，但总是免不了被敌方俘虏，从而使情报落入敌手，这对作战部队而言可是生死悠关的大事。

传说当时的凯撒大帝有一个能加密的办法，就在写命令前做一个对应表：
明码：A B C D E F．．．．W X Y Z
密码：D E F G H I．．．．Z A B C
如果他想写BABY，就用EDEB来表示。

当大将收到了EDEB这个密码后，向前推3个字母，就得到了明文。

这个对应表的移位数是3，当然别的数也可以，作战前由凯撒定好后通知大将们。

这种加密方式其实就是把坐标系横移了3格，这种方法非常简单，但同时也很容易被敌方猜到，敌人从1到25推25次，得到25组新编码，必有一种编码是真实的情报内容，把这组编码区别出来非常容易，因为其它24组都是毫无意义的字母组合，只有这一组是有意义的句子，找个识字的人就可以看得出来。

凯撒该怎么办呢？有个聪明人帮他出了个主意，对应表不按字母顺序写，而是搞个乱乎的。

例如A对Q，B对F，随便配对，只要保证26个明密码对里，每个都出现一次就行了。

每次出征前，凯撒都会临时搞个非常乱乎的明密码对应表，然后发给大将。

这招很不错，敌人即使截获了密文，由于不知道明密码对应表，也很难破译出来，这其实也是坐标系的一种变换，这种方法被后人称为“单表系统”。

很多年过去了，有人发现了这种加密方法的漏洞，因为英文字母的出现次数是不同的，例如E出现的次数最多，甚至可以搞出个频次表来，如果一件密文中R出现的次数最多，那这个R会不会就是E呢？这个猜想很合理，即使代表的不是E，那它代表的也应是明文中出现次数较多的字母。

按照这种思路试试吧，My God，密码解开了。

现在又轮到加密方纠结了，他们想，破解方是在拿明密文中字母出现的频次做文章，如果我们能把频次的区别消除掉，他们不就没办法了吗？道理虽然很好，但怎样才能消除这种频次的差别呢，毕竟明文中字母的频次就是不一样，这本身没法改变啊。

功夫不负有心人，有一天加密方终于找到了解决问题的关键，这个关键就是“二维”，这个方法被后人称为“多表系统”，就是把明文字母两个一组的重新排列，按组去设置乱码表。

明码表有：AA AB．．．AZ BA BB．．．BZ CA CB．．．．ZZ，每组再指定一个两个字母的密码对。

例如明文BABY，密文就是分别对应BA和BY的两组密码对。

这个方法其实就是把一维坐标系扩展成了二维。

这个多表系统非常有效，一直到二战期间还在使用。

当时德军有一种根据多表系统原理设计的加密转轮机，有三个轮子负责把输入的明码置乱成密码，英国一直破译不出来。

后来德国为了进一步增加保密性，多加了个轮子，可保密性不仅没有增加反而下降了，终于被英国解了密。

这就好比是洗扑克牌，并不是洗的次数越多就越乱乎，你已经洗得足够乱乎了，又洗了一次，这次反而不够乱乎了。

加密的方法越来越巧妙，但随着计算机的诞生，这些被称为古典密码术的方法全部失效，因为它们根本抵挡不住计算机的穷举分析。

现代密码学的思路跟古典密码术非常不同，它是先找出一个数学难题，然后把加密方法归结到这个难题上，若解不出这个数学难题就破解不了这个密码。

所以现代密码学更加引人入胜。

第8讲 夹半角模型
模块一 夹半角的模型 知识导航
夹半角，顾名思义，是一个大角夹着一个大小只有其一半的角，如下图所示。

2α
α 2α
α
这类题目有其固定的做法，当 取不同的值的时候，也会有类似的结论，下面我们就来看一看这一类问题。

夹半角的常见分类： （1）90度夹45度 （2）120度夹60度 （3）2α夹α
题型一 90度夹45度
【例1】 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，E 在BC 上，F 在CD 上，且∠EAF ＝45°，求证：（1）BE ＋DF ＝EF （2）∠AEB ＝∠AEF
【练】在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：
（1）DF－BE＝EF
（2）∠AEB＋∠AEF＝180°
【知识扩充】
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：
（1）已知△ABC为等腰三角形，∠ACB＝90°，M、N是AB上的点，∠MCN＝45°，求证：AM2＋BN2＝MN2
（2）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD．F为CD中点，点E在BC上，且∠EAF＝45°，求证：点E为线段BC靠近B的三等分点．
题型二120度夹60度
【例3】已知如图，△ABC为等边三角形，∠BDC＝120°，DB＝DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且∠MDN＝60°，求证：MB＋CN＝MN．
【练】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，AB＝BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF．
真题演练
（汉阳区八上期中）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系以及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是____________________；
此时Q
＝_________________；（不必证明）
（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN ＝2，则Q ＝__________（用含有L 的式子表示）
题型三 2α夹α
【例3】如图，在四边形ABDC 中，M 、N 分别为AB 、AC 上的点，若∠BAC ＋∠BDC ＝180°，BD ＝DC ，∠MDN ＝
2
1
∠BDC ，求证：BM ＋CN ＝MN ．
【练】如图，在例3的条件下，若M 、N 分别为BA 延长线、AC 延长线上的点，∠BAC ＋∠BDC ＝180°，BD ＝DC ，∠MDN ＝
2
1
∠BDC ，探究：线段BM 、CN 、MN 的数量关系．
模块二 夹半角模型的应用
【例4】 如图，在直角坐标系中，A 点的坐标为（a ，0），B 点的坐标为（b ，0），且a 、b 满足
012
144
2=+-+-a a b a ，若D （0，4），EB ⊥OB 于B ，且满足∠EAD ＝45°，试求线段EB 的长度．
【例5】点A （a ，0）、B （0，b ）分别在x 轴、y 轴上，且0962=+-+-a a b a ． （1）求a ，b 的值
（2）如图1，若线段AB 的长为23，点C 为y 轴负半轴上的一点，且射线CA 平分△AOB 的外角∠BA x ，求点C 的坐标．
（3）如图2，取点D （0,2）并连接AD ，将△AOD 烟直线AD 折叠得到△ADE ，过点B 作y 轴的垂线BF 交射线DE 的延长线于F 点，连接AF ，求BF 的长．
【例6】（2014年粮道街八上期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （0，b ），点B （a ，0），点D （d ，0），且a 、b 、d 满足0)2(312=-+-++d b a ，DE ⊥x 轴且∠BED ＝∠ABD ，BE 交y 轴于点C ，AE 交x 轴于点F ．
（1）求点A 、点B 、点D 的坐标； （2）求点E 、点F 的坐标；
（3）如图，过P （0，－1）作x 轴的平行线，在该平行线上有一点Q （点Q 在点P 的右侧）使∠QEM ＝45°，QE 交x 轴于点N ，ME 交y 轴的正半轴于点M ，确定
PQ
MQ
AM -的值．
第8讲 【课后作业】 夹半角
1．（2015年洪山区八中期中）
如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上的任意一点，以点A 为中心，把△ADE 顺时针旋转90°得△AB 1E ，∠EA 1E 的平分线交BC 边于点F ，求证：△CFE 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半．
2．如图△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ，连接MN ，则△AMN 的周长为__________．
3．已知如图，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠ABC ＋∠AED ＝180°． 求证：（1）AD 平分∠CDE ； （2）∠BAE ＝2∠CAD ．
（1）求A、B两点的坐标
（2）若点C在第一象限内，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标．
（3）如图，点N（1，0）、R（4，3），点P为线段AN上的一动点，连接PR，以PR为一边作∠PRM＝45°，交x轴于点M，连PM，请问点P在运动的过程中，线段PM、AM、BM直线有怎样的数量关系，证明你的结论．。