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数值分析思考题9
1、一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分
方程数值方法的阶？
称e n y(X n) y为某方法在点的整体截断误差，设y是准确的，用某种方法计算y n时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差。

可以知道，整体误差来自于前面误差积累，而局部误差只来自于
p 1
y n的误差。

如果给定方法的局部截断误差为Tn1 O(h )，其中
P为自然数，
则称该方法是P阶的或具有P阶精度。

2、显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还
要使用单步法？
显式方法优点：方法简单快速。

缺点：精度低。

隐式方法优点：稳定性好。

\ 缺点：精度低，计算量大。

多步法需要多个初值来启动迭代，而初值的计算需要用到单步法。

3、冈『性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳
定方法是什么？
了保证数值稳定性，步长h需要足够小，但是为了反映解的完整
性，x区间又需要足够长，计算速度变慢。

最简单的稳定方法就是扩大绝对稳定域。

4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶
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Run ge-
Kutta
法、四阶Adams方法计算下列微分方程初值问题的解。

(1) dy
dx
x
3
^,1
x
y(1) 0.4
x 2
；
(2)y'
z
10y 9z,
10y 11z,
满足
解:
（1）
取步长为,
向前Euler公式:y n y n 3
hf (X n, y n) = °.1X n
向后Euler公式: Y
n
Y n hf (X n 1, y 1)
0.1x
：
(
1
x n
)y
1 y n X n
X n 1 0.1 y n 1 y n
改进的Euler公式:
y n h
-f (X n, y n)
2
0.1
2
3 y n
X
n
X n
3
X n
x n 1, y n hf(X n,y n)
0.1x；1 y n
-2~
X n 1
3
X n 1
经典的四阶Runge-Kutta法:
y n
h
6
(k1 2k22k3 k1 f (X n, y n )
k 2 f (X n
h
-,y n
号kJ
k3 f (X n h
2,yn
h
k2)
2
k4 f (X n h, y n hk3)k4)
y n 1 四阶显示Adams方法:
y n 0) 1 y n
h
2；[55f(X n,
y
n)
59f(X
n
1
,
y
n
1)37 f (X n 2, y n 2) 9f (X n 3, y n 3)]
h
y
m
y
n
243X 1,鹉)仞血人)
5f(X
n1
，
y
n1
)
f(X
n2
，
y n2
)]
(2)二元微分方程组，经典的四阶
Runge-Kutta 法公式为:
\
h /
y n 1 y n
(k i 2k 2 2k 3 kJ
6 h z n 1
z
n ~ (
L 1
2L
2
2 L 3
L
4
)
6
k i f(X n ,y n ,Z n )
改进的欧拉即为特殊的二阶龙格-库塔，公式在此不累述，注意系数。

思路同上，四点Adams公式在此也不累述，注意前四项须由四阶龙格-库塔求得以启动迭代。

编程求解得
X\
改进的Euler
经典的四阶
Run ge-Kutta
四点阶Adams
\ y
z y z y Z /
f (X n ,y
n
k
1
, Z
n
L
1)
2 2 2
h h h
f (X n ,y n k2, Z n L2)
2 2 2
f
(X n h, y n
hk
3
,Z
n hL s)
L i g(X n, y n,Z n)
g
(X
n
h
2
,yn
h .
2
k
1
,Z
n
g(X n
h
2，y n 2
k
2,
Z
n 2L2)
g
(X
n h, y n hk3，Z n hL3)
k4
k
3
L
3
L2
L4
取步长h=，则向前Euler 公式:
编程求解得
X
向前Euler
向后Euler
y
z
y
z
Y n 1 Y n hf (X n , Y n ,Z n )=0.9Z n Z n 1 Y n
hg(X n , y n ,Z n ) = y n -O.IZ n
向后Euler 公式:
Y n
0.9 Y n 21Z n
2.1
Z
n 1
1
2.1
Y n
0.9
27Z n
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