《高级微观经济学》习题1．一个凸的、单调偏好的消费者消费非负数量的12,x x ：（1）如果121212/(,)a au x x x x -=代表其偏好，那么，对参数值a 的取值有什么限制？请解释。

（2）给定这些约束，计算马歇尔需求函数2．已知柯布－道格拉斯效用函数11212αα(,)u x x x x -=，试回答下列问题： （1）导出马歇尔需求函数(,)x p m 和间接效用函数(,)v p m ，并验证罗伊恒等式（2）验证(,)x p m 在(,)p m 上是零阶齐次的 （2）验证(,)x p m 满足瓦尔拉斯定律 （3）验证(,)v p m 在(,)p m 上是零阶齐次的 （4）验证(,)v p m 在(,)p m 上是拟凹的3．已知 CES 效用函数ρρρ12121x x x x u )(),(+=（10<≠ρ），试回答下列问题：（1）导出的希克斯需求函数(,)h p u 和支出函数(,)e p u ，并验证谢泼德引理 （2）验证(,)h p u 在p 上是零次齐次的（3）验证(,)h p u 满足((,))u h p u u =，即没有超额效用 （4）验证(,)e p u 在p 上是一次齐次的 （5）验证(,)e p u 在u 上是严格递增的 （6）验证(,)e p u 在p 上是凹的4．考察下式给出的间接效用函数：1212(,,)mv p p m p p =+，求： （1） 马歇尔需求函数 （2） 支出函数（3） 直接效用函数5．(,)i x p m 是消费者对商品i 的马歇尔需求函数（1,...,i k =），其需求收入弹性和需求需求交叉价格弹性分别为：i i i x m m x η∂=∂，j i ij j ipx p x γ∂=∂，试证明： （1） 恩格尔加总规则：11ki i i s η==∑，这里/i i i s p x m =（2） 古诺加总规则：1ki ij i s s γ==-∑6．令斯卢茨基方程右端第一项h i j x p ⎛⎫∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭为ij s ，ij s 为i x 和j x 的净替代效应，设效用函数为12r u x x =，试证明：1111220s p s p +=7．某人的效应函数是1212(,)u x x x x =，他的收入100m =。

最初的商品价格是p=(1,1)，假设现在价格变化为p ’=(1/4, 1)。

计算EV 、CV 和⊿CS,比较计算结果并做简要解释8．设一个严格风险规避者的期望效用函数为()u ⋅，他的初始财富W 0面临着损失L 美元的风险，设发生损失的概率为π。

决策者可以购买保险以规避风险，假设1美元财产的保险费为p ，当损失发生时保险公司提供1美元的补偿；假设保险价格为公平保费率，则决策者会购买多少保险？9．设消费者的期望效用函数为1()/u w w =-，他可以参加一次赌局，以p 的概率获得财富w 1，以（1-p ）的概率获得财富w 2，当初始财富水平w 0为多少时，维持现有财富与接受赌局对他来说是无差异的？10．如果个体的期望效用函数形如：20()u w Aw Bw B =->（1）求该个体的绝对A-P 风险规避系数和相对A-P 风险规避系数； （2）证明绝对A-P 风险规避系数是财富ω的单增函数11．证明：（1）A-P 绝对风险厌恶系数A(w)=c 的充要条件是期望效用函数为：0()()cx u w Ae A -=->（2）A-P 相对风险厌恶系数R(w)=c ≠1的充要条件是期望效用函数为：10()()c u w Aw B A -=+>（3）A-P 相对风险厌恶系数R(w)=1的充要条件是期望效用函数为：0()ln ()u w A w B A =+>12．假设某人是风险厌恶的，有2万元的初始财富；假设某种事故的发生的概率为50％，在事故发生的情况下该人的财富会损失一半：（1）如果由一个保险公司向该个体提供事故保险，公平保费率应该是多少？用图解释，在公平保费率下，这个人会购买完全保险。

（2）如果有A 和B 两家保险公司同时以公平保费率提供保险服务，但A 公司要求客户只能购买完全保险，而B 公司不允许客户的投保超过他所有财产的一半，证明这个人会购买A 公司的保险。

13．考虑下面保险需求的比较静态问题：（1）证明：如果其他条件不变，则灾害发生的概率越高，或者灾害损失越大，则个体投保的金额越高（2）如果灾害发生的概率p 增加时，保险公司按比例提高保费率：00ππβ()p p =+-，讨论灾害发生概率从p 0增加到p 时保险需求的变化。

14.将A-P 绝对风险厌恶系数的导数定义为个体的风险容忍系数（risk tolerance ）：()1()'()"()RT x A x u x u x ==-，假设个体具有线性风险容忍系数：()RT x x αβ=+，试证明：()10,1,11bu a x γαβγβγ-=≠⇒=+=-14．当12αα≠时，一般的CES 技术()11122y x x =+ρρραα的替代弹性为多少？15．设生产函数为1121()()y f x k x x ---==+αβ（其中，000,,y k >>≤≤αβ）中各要素的产出弹性，并证明该生产技术的规模弹性为：1()(,)()ni ii f x xu x t f x ==∑16．设12(,)f x x 是位似函数，证明它在12(,)x x 的技术替代率等于它在12(,)tx tx 处的技术替代率，即证明：1212(,)(,)MRTS tx tx MRTS x x =17．对于C-D 生产函数12y Ax x =αβ，求相应的条件要素需求函数和成本函数。

当A ＝1，1+=αβ时的成本函数又是什么？18.对于C-D 生产函数αβy Ax x αβαβA 120,1,0=>+≤>，，（1） 验证：仅在参数条件αβ1+≤下，利润最大化二阶条件才能得到满足（2） 求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ） （3） 求利润函数 （4） 验证Hotelling 引理19．设某一厂商的生产函数是：12()y x x =+ρρβρ，其中101,<≠<βρ。

求厂商的供给函数、要素需要函数和利润函数。

20．考虑一个完全竞争市场，生产q 的技术产生了成本函数2()c q aq bq =+，q的市场需求是p q αβ=-（1）如果a>0,b<0，并且部门内存在J 个厂商，代表性厂商的短期均衡市场价格与产出是多少？（2）如果a>0,并且b<0，长期均衡的市场价格与厂商数目是多少？ （3）如果a>0,并且b>0，长期均衡的市场价格与厂商数目是多少？21．考虑一个完全竞争市场，其中有J 个企业，如果单个企业生产函数为11j q x kαα-=，w 为1x 的价格，r 为k 的价格，p 为产品的价格：（1）单个企业的产品供给函数（2）市场需求函数为294dq (p )/p =，1241148/,w ,r ,k ,J α=====，求市场供给函数、市场均衡价格、均衡产量，每个企业的供给量和利润水平。

22. 对CES 生产函数()αααγA δx δx δδA 1112212,1,0=++=>（1） 证明：边际产出()ααi i i MP A δγx 1-=（2） 求边际技术替代率MRTS 12（3） 当γx x 21或变化时，MRTS 12如何随之变化 （4） 证明：技术替代弹性)σα11＝－23．对于C-D 生产函数αβy Ax x αβαβA 120,1,0=>+≤>，， （1）验证：仅在参数条件αβ1+≤下，利润最大化的二阶条件才能得到满足（2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ） （3）求利润函数（4）验证利润函数是()p w w 12,,的一次齐次函数 （5）验证Hotelling 引理24．在拟线性效用假设下，消费者i 的间接效用函数形如i v p m ();+如果j πp ()是厂商j 的利润函数，定义一个福利函数为：nni j i j W p v p πp 11()()()===+∑∑（1） 如果完全竞争均衡价格p*，存在，证明p*使得函数W(p)最小化 （2） 解释为什么p*不是使函数W(p)最大化，却反而使它最小化25．假如某个城市可以想象成如图所示一条长为1的直线段，我们进一步将它表示为闭区间[0,1]；在0和1处各有一个冰箱生产厂商，成本函数都是c x cx ()=，两家厂商进行价格竞争；有总数为N 的消费者均匀分布在[0,1]上，可以以z [0,1]∈代表处于这一位置的那个消费者。

每个消费者对冰箱的最大需求量为1，且如果消费者购买冰箱，他获得的间接效用是v （以货币单位计量）；如果消费者向一个于他相距d 的厂商购买商品，他需要负担的交通费用是td t (0)>。

（1）求两个厂商的反应函数，并画出它们的反应曲线 （2）求该模型的的纳什均衡26．考虑对大街上随地吐痰者进行惩罚的制度。

记吐痰后被逮获的概率为P ，逮获后罚款金额为T ，则一个人在街上吐痰后的“期望罚金”是PT 。

假设每个人都是风险厌恶的。

保持期望罚金PT 不变，有两种惩罚方案：（a ）P 较大T 较小；（b ）P 较小而T 较大。

问：哪一种惩罚方案更有效？30．某人的效应函数是1212(,)u x x x x =，他的收入100m =。

最初的商品价格是p=(1,1)，假设现在价格变化为p ’=(1/4, 1)。

计算EV 、CV 和⊿CS ,比较计算结果并做简要解释.27.假设一个供给存在时滞的市场需求和供给函数分别是t t t t X a bp Y c dp a b c d 1,,,,0-=-=+>和（1） 什么条件下市场是稳定的？（2） 假如政府确定了一个目标价格p ，并发现在市场偏离该价格时进场作调节性的买卖；政府的干涉政策奉行下面的原则：()t t G αp p 1-=-其中t G 是政府在t 期的购买量（若t G 0<，政府实际上出售t G ）。

如果市场本身是不稳定的，政府这种干涉是否会稳定市场？如果市场本身是稳定的，政府的干涉是否会使市场不稳定。

28．一个垄断者面对着一个线性的需求：p q αβ=-，其成本函数为：C cq F =+，这里一切参数均为正，并且2,()4a c a c F β>-> （1）求解垄断者的产出水平、价格与利润 （2）计算沉没损失，并表明该损失为正（3）如果政府要求这个厂商去确定可最大化消费与生产者剩余之和的价格，并在此价格上服务所有购买者，那么厂商必须索要什么价格呢？证明：在这种管制下，厂商的利润为负，故这种管制在长期内无法持续。