负反馈控制系统的开环传递函数为
（1）、)3)(1()()(++=s s s K
s H s G
（2）、)3)(1()
2()()(+++=s s s s K s H s G
做系统根轨迹图。

解（1）：传递函数已为标准零极点令
0)3)(1(=++s s s
可得开环极点为
00=p
11-=p
32-=p
则3=n ，0=m ，有3=-m n 条根轨迹终止于无穷远处
极点将实轴分为四个区间，仅有区间)3,(--∞和)0,1(-有根轨迹因为)0,1(-两端均为极点，则存在分离点为：
0])
()(1[=ds
s H s G d
03832=++s s 解出 45.01-=s 22.22-=s
根据实轴上根轨迹确定方法可知2s 不在根轨迹上，1s 为该系统的分离点。

与实轴的交点为3
4
3310321-=--=-++=
m n p p p a σ
与实轴正方向的夹角为：
0=h ， 6031801801==-=
m n ϕ 1=h ，
180180)12(2=-+=
m
n ϕ 2=h ，
300180)122(3=-+⨯=
m
n ϕ 根轨迹与虚轴的焦点w 和对应的临界增益c k 值，由开环传递函数可
知，系统的闭环特征方程为
034)3)(1(23=+++=+++k s s s k s s s
令jw s =，上式变为
0)(3)(4)(23=+++k jw jw jw
实部与虚部分别为零，即
042=+-k w 033=+-w w
解得
3±=w 12=k
根据以上结果。

绘制出大概的根轨迹图形如下
Mutlab 绘根轨迹图
G=tf(1,[conv([1,1],[1,3]),0]); rlocus (G); grid
解（2）：)3)(1()
2()()(+++=s s s s K s H s G
传递函数已为标准零极点令
0)3)(1(=++s s s
可得开环极点为
00=p
11-=p
32-=p
三条分支中一条终止于开环零点2-=z ，则3=n ，1=m ，有2=-m n 条根轨迹终止于无穷远处
极点将实轴分为四个区间，仅有区间)3,(--∞和)0,1(-有根轨迹因为)0,1(-两端均为极点，则存在分离点为：
0])
()(1[=ds
s H s G d
061611223=+++s s s 解出
45.01-=s 25.22-=s
根据实轴上根轨迹确定方法可知2s 为系统的会和点，1s 为该系统的分离点。

与实轴的交点为12
2
3101321-=+--=--++=
m n z p p p a σ
与实轴正方向的夹角为：
0=h ， 9021801801==-=
m n ϕ 1=h ，
270180)12(2=-+=
m
n ϕ 2=h ，
450180)122(3=-+⨯=
m
n ϕ 根轨迹与虚轴的焦点w 和对应的临界增益c k 值，由开环传递函数可
知，系统的闭环特征方程为
02)3(4)2()3)(1(23=++++=++++k s k s s s k s s s
其劳斯行列表为
3s 1 k +3 2s 4
k 2
1s 23k + 0
0s
k 2
使第一列中1
s 项等于零的k 值，就是临界c k ，有方程
023=+
k
6-=c k
再求解由2s 行得到辅助方程
0242=+k s 3j w ±=
Mutlab绘根轨迹图：den=[conv([1,1],[1,3]),0]; num=[1,2];
G=tf(num,den);
rlocus (G);
grid。