6 x+y+z=6 z
0
.
6
y
2 4
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
6 z
0
.
6
y
2 4
x
6
作图练习 2 作出曲面 x 2 + y 2 = a ，x 2 + z 2 = a 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0所围立体图
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x2 + y2 ≤1, z = 0.
C o
x
1
y
例
L:
空间曲线作为投影柱面的交线
2 y 2 + z 2 + 4 x = 4z 2 2 y + 3 z − 8 x = 12
z
将其换成 投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去 ) 消去z
6 x+y+z=6
3x+y=6
z
0
6
y
2
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
6 x+y+z=6
3x+y=6
z
0
.
6
y
2
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
o
x
1 y
又如,方程组 又如
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程.
空间曲线——圆柱螺线 空间曲线——圆柱螺线
圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 M(x,y,z) z
点P在圆柱面上等速地绕 轴旋转； 在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 在圆柱面上等速地绕 轴旋转 同时又在平行于z轴的方向 同时又在平行于 轴的方向 等速地上升。 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。 其轨迹就是圆柱螺线。
求曲面 z = 2 − x 2 − y 2 及 z = x 2 + y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影 。
z = 2 − x 2 − y 2 z = x 2 + y 2
解 由
z
得交线L： 得交线 ：
x2 + y2 = 1 z = 1
1
o
.
x
y
求曲面 z = 2 − x 2 − y 2 及 z = x 2 + y 2 的交线 L在 xoy 平面的投影 。
(2) 将第二方程变形为
故所求为
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H(x, y) = 0 z =0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C′ R( y, z) = 0 x =0 T(x, z) = 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y =0
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程
第七章 七
三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G(x, y, z) = 0 L F(x, y, z) = 0
S2
S1
例如,方程组 例如
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
学画草图
z
a
.
0
a
y
a
x
作图练习
作出曲面 z = 1 − x 2 + y 2 和 x 2 + y 2 − z = 1 所围立体图形
z 1
0
1
y
x –1
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x + y + z =1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z = x + y ,它与所给平面的 Q
解 由
z = 2 − x 2 − y 2 z = x 2 + y 2
z
L
1
投影柱面
x2 + y2 = 1
所求投影曲线为
x2 + y2 = 1 z = 0
. . .
得交线L： 得交线 ：
x2 + y2 = 1 z = 1
x2 + y 2 = 1
o
.
x
z =0
2
y
例如, 例如,
2 2
z = x2 + y2 交线为 x + y + z =1 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 x + y + x2 + y2 =1 z = 0
6 x+y+z=6
3x+y=6
z
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
6 x+y+z=6
3x+y=6
z
3x+2y=12
0
.
6
y
2 4
x
6
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
z
0
a a
x
y
作图练习
2 作出曲面 x 2 + y 2 = a ，x 2 + z 2 = a 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0所围立体图

z
y=0
.
x=0
0
z=0
a
y
a
x
作图练习 2 作出曲面 x 2 + y 2 = a ，x 2 + z 2 = a 2 , x = 0 , y = 0 , z = 0所围立体图
y2 = – 4x
0
y
.
x
例
L:
空间曲线作为投影柱面的交线
2 y + z + 4 x = 4z 2 2 y + 3 z − 8 x = 12
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去 ) 消去z L： ： y2+(z – 2)2 = 4
.
(消去 ) 消去x 消去
L
y2 = – 4x
0
转动坐标系，有下页图
x
y
.
例
空间曲线作为投影柱面的交线
z
L： ：
y 2 + (z – 2)2 = 4 (消去 消去x) 消去 y2 = – 4x (消去 消去z) 消去
y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x L
y
0
x
作图练习 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 平面 ， 所围成的立体图
x2 + y2 + z2 =1 C: 2 x + ( y −1)2 + (z −1)2 =1
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o
x
1 y
x2 + 2y2 − 2y = 0 z =0
又如, 又如, 上半球面 和锥面 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
x = acos t y = asin t z = bt
（移动及转动都是等速进 所以z与 成正比。 行，所以 与t成正比。)
Q
当 t 从 0 → 2π， π 螺线从点P 螺线从点 → Q
PQ = 2πb 叫螺距
P
.
M
0
t
N
a
y
x
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
y2 = – 4x
0
y
x
例
L:
空间曲线作为投影柱面的交线
2 y + z + 4 x = 4z 2 2 y + 3 z − 8 x = 12
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去 ) 消去z y2+(z – 2)2 = 4 (消去 ) 消去x 消去