第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.已知函数f(x)=cosx,则f(π)+f'=()A.-B.-C.-D.-2.(2017黑龙江、吉林八校联考)函数f(x)=x+sinx的图象在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A. B. C. D.+13.已知f(x)=x(2014+lnx),若f'(x0)=2015,则x0=()A.e2B.1C.ln2D.e4.(2016安徽安庆二模)给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sinx-cosx的拐点是M(x0,f(x0)),则点M()A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上5.(2015河南郑州质检二)已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=()A.-1B.0C.2D.46.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.7.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.8.已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为.9.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.10.已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.B组提升题组11.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=e xD.y=x312.(2016安徽皖江名校联考)已知函数f(x)=e x-2ax,g(x)=-x3-ax2.若不存在x1,x2∈R,使得f'(x1)=g'(x2),则实数a的取值范围为()A.(-2,3)B.(-6,0)C.-2,3]D.-6,0]13.(2016重庆二诊)已知函数f(x)=+sinx,其导函数为f'(x),则f(2016)+f(-2016)+f'(2016)-f'(-2016)的值为()A.0B.2C.2016D.-201614.已知f(x)=acosx,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=()A.-1B.0C.1D.215.若函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是.16.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.答案全解全析A组基础题组1.C∵f'(x)=-cosx+(-sinx),f(π)=-,∴f(π)+f'=-+·(-1)=-.2.A f(x)=x+sinx,则f'(x)=1+cosx,则f'=1,而f=+1,故函数f(x)的图象在x=处的切线方程为y-=x-,即y=x+1.令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×1×1=.故选A.3.B由题意可知f'(x)=2014+lnx+x·=2015+lnx.由f'(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.4.B f'(x)=3+4cosx+sinx,f″(x)=-4sinx+cosx,由题意知4sinx0-cosx0=0,所以f(x0)=3x0,故M(x0,f(x0))在直线y=3x上.故选B.5.B由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,∴f'(3)=-.∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),∴g'(3)=f(3)+3f'(3),又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3×=0.6.答案(e,e)解析令f(x)=xlnx,则f'(x)=lnx+1,设P(x0,y0),则f'(x0)=lnx0+1=2,∴x0=e,此时,y0=x0lnx0=elne=e,∴点P的坐标为(e,e).7.答案y=2x解析当x>0时,-x<0,f(-x)=e x-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=e x-1+x(x>0),点(1,2)在曲线f(x)=e x-1+x(x>0)上,易知f'(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f'(1)·(x-1),即y=2x.8.答案解析函数f(x)=e x-mx+1的导函数为f'(x)=e x-m,要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则需e x-m=-有解,即m=e x+有解,由e x>0,得m>.则实数m的取值范围为.9.解析(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是-1,+∞).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,解得-1≤k<0或k≥1,故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,得x∈(-∞,2-]∪(1,3)∪2+,+∞).10.解析根据题意有曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g'(1)=-a.又f'(1)=g'(1),所以a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线.B组提升题组11.A设函数y=f(x)图象上两点的横坐标为x1,x2.由题意知只需函数y=f(x)满足f'(x1)·f'(x2)=-1(x1≠x2)即可.y=f(x)=sinx的导函数为f'(x)=cosx,f'(0)·f'(π)=-1,故A满足;y=f(x)=lnx 的导函数为f'(x)=,f'(x1)·f'(x2)=>0,故B不满足;y=f(x)=e x的导函数为f'(x)=e x,f'(x1)·f'(x2)=>0,故C不满足;y=f(x)=x3的导函数为f'(x)=3x2,f'(x1)·f'(x2)=9≥0,故D不满足.故选A.12.D依题意,知函数f'(x)与g'(x)值域的交集为空集,∵f'(x)=e x-2a>-2a,g'(x)=-3x2-2ax≤,∴≤-2a,解得-6≤a≤0.13.B∵f(x)=+sinx,∴f'(x)=-+cosx,f(x)+f(-x)=+sinx++sin(-x)=2,∴f'(x)-f'(-x)=-+cosx+-cos(-x)=0,∴f(2016)+f(-2016)+f'(2016)-f'(-2016)=2. 14.C依题意得,f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,f'(0)=g'(0),∴-asin0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,选C.15.答案∪解析f'(x)=+a(x>0).∵函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,∴方程+a=2在区间(0,+∞)上有解,即a=2-在区间(0,+∞)上有解,∴a<2.若直线2x-y=0与曲线f(x)=lnx+ax相切,设切点为(x0,2x0),则解得x0=e,a=2-.综上,实数a的取值范围是∪.16.解析(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=,又f'(x)=a+,即有a+=,解得a=1,b=3.故f(x)=x-.(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知,f'(x)=1+,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。