2.2 简单线性回归模型参数的估计
一、判断题
1.使用普通最小二乘法估计模型时，所选择的回归线使得所有观察值的残差和达到最小。
（F)
2.随机扰动项和残差项是一回事。
（F ）
3.在任何情况下OLS 估计量都是待估参数的最优线性无偏估计。
（F ）
4.满足基本假设条件下，随机误差项i μ服从正态分布，但被解释变量Y 不一定服从正态分 布。
（ F ）
5.如果观测值i X 近似相等，也不会影响回归系数的估计量。
（ F ）
二、单项选择题
1．设样本回归模型为i 01i i ˆˆY =X +e ββ+，则普通最小二乘法确定的i
ˆβ的公式中，错误的是（ D ）。
A ．
()()
()
i i 1
2
i X X Y -Y ˆX X β--∑∑＝ B ．()
i i i i 12
2i i n X Y -X Y ˆ
n X -X β∑∑∑∑∑＝
C ．i i 122i
X Y -nXY ˆX -nX β∑∑＝ D ．i i i i 12x n X Y -X Y ˆβσ∑∑∑＝ 2．以Y 表示实际观测值，ˆY 表示回归估计值，则普通最小二乘法估计参数的准则是使（ D ）。
A ．i i ˆY Y 0∑（－）＝
B ．2
i i ˆY Y 0∑
（－）＝
C ．i i ˆY Y ∑（－）＝最小
D ．2
i i ˆY Y ∑
（－）＝最小 3．设Y 表示实际观测值，ˆY 表示OLS 估计回归值，则下列哪项成立（ D ）。
A ．ˆY
Y ＝ B ．ˆY Y ＝ C ．ˆY Y ＝ D ．ˆY Y ＝ 4．用OLS 估计经典线性模型i 01i i Y X u ββ+＝＋，则样本回归直线通过点（ D ）。
A ．X Y （，）
B ． ˆX Y （，）
C ．ˆX Y （，）
D ．X Y （，） 5．以Y 表示实际观测值，ˆY
表示OLS 估计回归值，则用OLS 得到的样本回归直线i 01i
ˆˆˆY X ββ+＝满足（ A ）。
A ．i i ˆY Y 0∑（－）＝
B ．2
i i Y Y 0∑
（－）＝ C ． 2
i i ˆY Y 0∑
（－）＝ D ．2i i ˆY Y 0∑
（－）＝
6．按经典假设，线性回归模型中的解释变量应是非随机变量，且（ A ）。
i u i e
A ．与随机扰动项不相关
B ．与残差项不相关
C ．与被解释变量不相关
D ．与回归值不相关
7.参数β的估计量β
ˆ具备有效性是指（ B ） A ．()0Var =β
ˆ B ．()
βˆVar 为最小 C ．()0=-ββ
ˆ D ．()ββ-ˆ为最小 三、多项选择题
1．以Y 表示实际观测值，ˆY 表示OLS 估计回归值，e 表示残差，则回归直线满足（ABE ）。
A ．X Y 通过样本均值点（，）
B ．
i
i ˆY Y
∑∑＝
C ．2
i i ˆY Y 0
∑
（－）＝ D ．2
i i ˆY Y 0∑
（－）＝ E ．i i cov(X ,e )=0
2．用OLS 法估计模型i 01i i Y X u ββ+＝＋的参数，要使参数估计量为最佳线性无偏估计量，则要求（ ABCE ）。
A ．i E(u )=0
B ．2
i Var(u )=σ C ．i j Cov(u ,u )=0 D ．i u 服从正态分布 E ．X 为非随机变量，与随机扰动项i u 不相关。
3．假设线性回归模型满足全部基本假设，则其参数的估计量具备（ CDE ）。
A ．可靠性
B ．合理性
C ．线性性
D ．无偏性
E ．有效性 4．普通最小二乘估计的直线具有以下特性（ ABDE ）。
A ．通过样本均值点(,)X Y B ．ˆi
i
Y Y
=∑∑ C ．2
ˆ()0i
i
Y Y -=∑
D ．
0i
e =∑ E ．(,)0i
i
Cov X e =
5．线性回归模型的变通最小二乘估计的残差i e 满足（ ACDE ）。
A ．
i
e 0∑＝ B ．i i
e Y 0∑＝ C ．i i
ˆe Y
0∑＝ D ．
i
i
e X 0∑＝ E ．i
i
cov(X ,e )=0
四、简答题
1.古典线性回归模型的基本假定是什么？
答：①零均值假定。
即在给定t X 的条件下，随机扰动项的数学期望（均值）为0，即t E(u )=0。
②同方差假定。
误差项t u 的方差与t 无关，为一个常数。
③无自相关假定。
即不同的误差
项相互独立。
④解释变量与随机扰动 项不相关假定。
⑤正态性假定，即假定随机扰动项t u 服从均值为0，方差为2σ的正态分布。
2．用普通最小二乘法拟合的样本回归线具有哪些性质？这些性质分别由哪个正规方程求得？
答：①样本回归线通过样本均值。
②估计值Y ˆ的均值等于实际值i Y 的均值Y 。
③剩余项i e 的
均值为零。
④被解释变量估计值i
Y ˆ与剩余项i e 不相关。
⑤解释变量i X 与剩余项i e 不相关 。
前三条由第一个正规方程0e
i
=∑求得，
后两条由0e i =∑和第二个正规方程0X e i i =∑求得。
3．在满足古典假定条件下，一元线性回归模型的普通最小二乘估计量有哪些统计性质？这些统计性质与哪些基本假定有关？
答：①线性，是指参数估计量0ˆb 和1ˆb 分别为观测值t y 和随机扰动项t u 的线性函数或线性组合。
②无偏性，指参数估计量0ˆb 和1ˆb 的均值（期望值）分别等于总体参数0b 和1b 。
③有效性（最小方差性或最优性），指在所有的线性无偏估计量中，最小二乘估计量0ˆb 和1
ˆb 的方差最小。
其中，无偏性与零均值假定、解释变量与随机扰动项无关假定有关；有效性与除正态性假定外的假定均有关。
五、计算分析题
1、令kids 表示一名妇女生育孩子的数目，educ 表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对受教育年数的简单回归模型为
μββ++=educ kids 10
（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与受教育水平相关吗？
（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
答：（1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。
有些因素可能与受教育水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。
（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ 相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设3不满足。
2．下表中的数据是从某个行业5个不同的工厂收集的，请回答以下问题：
总成本Y 与产量X 的数据
Y 80 44 51 70 61 X
12
4
6
11
8
（1）估计这个行业的线性总成本函数：i 01i
ˆˆˆY =b +b X （2）01
ˆˆb b 和的经济含义是什么？ 答：（1）由于
2700t t
x y
=∑，41t x =∑，306t y =∑，2381t x =∑，2()1681t x =∑，
61.2y =，8.2x =，得
1
22
5270041306ˆ 4.2653811681()t t t t t t n x y x y b n x x -⨯-⨯===⨯--∑∑∑∑∑（ 01
ˆˆ61.2 4.268.226.28b y b x =-=-⨯= 总成本函数为：i i
ˆY =26.28+4.26X （2）截距项0ˆb 表示当产量X 为0时工厂的平均总成本为26.28，也就是工厂的平均固定成本；斜率项1
ˆb 表示产量每增加1个单位，引起总成本平均增加4.26个单位。