数值分析实验指导2012年8月实验一 误差分析实验1.1（病态问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。

对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。

通过本实验可获得一个初步体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。

病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式)1.1()()20()2)(1()(201∏=-=---=k k x x x x x p显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。

现考虑该多项式的一个扰动)2.1(0)(19=+x x p ε其中ε是一个非常小的数。

这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。

我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。

实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个MATLAB 函数：“roots ”和“poly ”。

roots(a)u =其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。

设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程01121=+++++-n n n n a x a x a x a的全部根；而函数 p o l y (vb = 的输出b 是一个n+1维向量，它是以n 维向量v 的各分量为根的多项式的系数。

可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。

))20:1((;)2();21,1(;000000001.0ve poly roots ess ve zeros ve ess +===上述简单的MATLAB 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess ”即是（1.2）中的ε。

实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。

如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2）的解应当相差很小。

计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（1.2）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象出现？（3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。

注意我们可以将方程（1.2）写成展开的形式， )3.1(0),(1920=+-= x x x p αα同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系？为什么？你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感？思考题一：（上述实验的改进）在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考MATLAB 的帮助。

思考题二：（二进制产生的误差）用MATLAB 计算1001.010001-∑=i 。

结果居然有误差！因为从十进制数角度分析，这一计算应该是准确的。

实验反映了计算机内部的二进制本质。

思考题三：（一个简单公式中产生巨大舍入误差的例子） 可以用下列式子计算自然对数的底数n n ne e )11(l i m 1+==∞→ 这个极限表明随着n 的增加，计算e 值的精度是不确定的。

现编程计算n nn f )11()(+=与exp(1)值的差。

n 大到什么程度的时候误差最大？你能解释其中的原因吗？实验1.2 误差传播与算法稳定性实验目的：体会稳定性在选择算法中的地位。

误差扩张的算法是不稳定的，是我们所不期望的；误差衰减的算法是稳定的，是我们努力寻求的，这是贯穿本课程的目标。

问题提出：考虑一个简单的由积分定义的序列...2,1,101==⎰-n dx e x I x n n显然,...2,1,0=>n I n 。

当1=n 时，e dx xe I x /11011==⎰-。

而对于2≥n 时，利用分部积分易得,...3,2,1|111110111=-=-==-----⎰⎰n nI dx e nxe x dx e x I n x n x n x n n另一方面，我们有)1/(11101+=≤=⎰⎰-n dx x dx e x I n x n n实验内容：由以上递推关系，我们可得到计算序列{n I }的两种方法。

（I ）：,...3,2,1,/111=-==-n nI I e I n n （II ）：2,3,...2,1,,1,01--=-==-N N N n n E E E nn N实验要求：（1）分别用算法（I ）、（II ）并在计算中分别采用5位、6位和7位有效数字，请判断哪种算法能给出更精确的结果。

（2）两种算法的优劣，与你的第一感觉是否吻合。

请从理论上证明你实验得出的结果，解释实验的结果。

算法（I ）中的1I 的计算误差为1e ，由1I 递推计算n I 的误差为n e ；算法（II ）中N I 的计算误差为N ε，由N I 向前递推计算)(N n I n <的误差为n ε。

如果在上述两算法中都假定后面的计算不再引入其他误差， 试给出n e 与1e 的关系和n ε与N ε的关系。

（3）算法（I ）中通常1e 会很小，当n 增大时，n e 的变化趋势如何？算法（II ）中N ε通常相对比较大，当n 减小时，误差n ε又是如何传播的？也就是说比较一下上述两个算法，当某一步产生误差后，该误差对后面的影响是衰减还是扩张的。

（4）通过理论分析与计算实验，针对算法（I ）和（II ）的稳定性，给出你的结论。

实验二 插值法实验2.1（多项式插值的振荡现象）问题提出：考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时，)(x L n 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数22511)(xx f += 实验内容：考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-=则拉格朗日插值多项式为∑=+=ni ijn x l x x L 02)(2511)( 其中的n i x l i ,,2,1,0),( =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：（1） 选择不断增大的分点数目n=2,3….，画出原函数f(x)及插值多项式函数)(x L n 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g x xx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

（3）区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 1,,2,1,)1(2)12(c o s 22+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=n k n k a b a b x k π 以121,,+n x x x 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。

实验2.2（样条插值的收敛性）问题提出：多项式插值是不收敛的，即插值的节点多，效果不一定就好。

对样条函数插值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，但通过本实验可以验证这一理论结果。

实验内容：请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。

考虑实验2.1中的函数或选择其他你有兴趣的函数，可以用MATLAB 的函数“spline ”作此函数的三次样条插值。

实验要求：（1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差的变化情况。

分析所得结果并与拉格朗日多项式插值比较。

（2）样条插值的思想是早产生于工业部门。

作为工业应用的例子考虑如下问题：某汽车制造商用三次样条插值设计车门的曲线，其中一段的数据如下：思考题一：（二维插值）在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程数据如下。

试用MATLAB的二维插值函数“interp2”进行插值，并由此找出最高点和该点实验三曲线拟合实验3.1 钢包问题炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，在使用过程中由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其容积不断增大。

经试验，钢包的容积与相应的使用次数的数据列表如下：选用双曲线对数据进行拟合，使用最小二乘法求出拟合函数，作出拟合曲线图。

实验3.2（曲线逼近方法的比较）问题提出：曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。

实验内容：考虑实验2.1中的著名问题。

下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。

x=-1:0.2:1;y=1/(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);hold on;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);hold off;适当修改上述MATLAB程序，也可以拟合其他你有兴趣的函数。

实验要求：（1）将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。

（2）归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。

思考题一：（病态）考虑将[0,1]30等分节点，用多项式5++= 生成y+1xx数据，再用polyfit求其3次、5次、10次、15次拟合多项式，并分析误差产生的原因。

实验四 数值积分数值实验综述：通过数值积分实验掌握数值积分的实现，理解各种数值积分公式的特性，并能用数值积分求解积分方程和微分方程。

基础实验4.1 Newton-cotes 型求积公式实验目的：学会Newton-cotes 型求积公式,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分⎰πcos xdx e x实验要求：选择等分份数n ,用复化Simpson 求积公式求上述定积分的误差不超过810-的近似值,用MATLAB 中的内部函数int 求此定积分的准确值,与利用复化Simpson 求积公式计算的近似值进行比较。

4.2 Romberg 算法实验目的：学会数值求积的Romberg 算法,并应用该算法于实际问题. 实验内容：求定积分 ⎰15.0dx x实验要求：（1）要求程序不断加密对积分区间的等分,自动地控制Romberg 算法中的加速收敛过程,直到定积分近似值的误差不超过610-为止,输出求得的定积分近似值。