全响应： (t , t 0 , x 0 , u) (t , t 0 , x 0 ,0) (t , t 0 ,0, u)
多变量线性系统 线性系统的运动分析 4
2.2 状态转移矩阵及其性质 2.2.1 线性齐次方程的解空间
A(t ), B(t )的每个元素均是 t的分段连续函数 x(t 0 ), u(), 状态方程均有唯一解
多变量线性系统 线性系统的运动分析 10
(4)对于与A可交换的n阶方阵有 e ( A F ) t e At e Ft e Ft e At d At (5) e Ae At e At A dt (6)(e At ) m e A( mt ) , m 0,1,2, (7)如果A PFP1 , 则e At PeFt P 1 (8)e At L1 ( sI A) 1
多变量线性系统
1 2 2

2

n
2
1 n 1 2 n 1 n
n 1
1
e 1t 2 t e n t e
14
线性系统的运动分析
2.4.2 线性定常系统的响应
定理：线性定常系统的状态 转移矩阵为
2.5.2 脉冲响应矩阵的定义与系统的输出响应
定义：考虑有r个输入端和m个输出端的线性定常系 统，有g ij (t ) 表示第j个输入端输入作用为 (t )时第i个输出端的脉冲响应， 则 g11 (t ) g12 (t ) g1r (t ) g (t ) g (t ) g (t ) 22 2r G (t ) 21 g ( t ) g ( t ) g ( t ) m2 mr m1 称为系统的脉冲响应矩 阵。 G (t ) 0 ，t u j u j (t k ) (t t k )t , j 1,2, , r

t

h(t )u ( ) d (t ) 0 t t
单位脉冲函数 当u (t ) (t ), 有
y (t ) h(t ) g (t )
h(t )为单位脉冲输入的响应 ， h(t )称为单位脉冲响应函数 。
多变量线性系统 线性系统的运动分析 16
p n , 则 e 2 t e J 2t e nt P 1 J 2 J l P 1 e J l t P 1
1 ( p 1)! 1 ( p 2 )!
一般 A PdiagJ 1

p2

A Pdiag1 有
2 n P 1
多变量线性系统
线性系统的运动分析
7
2.3 线性时变系统的运动分析 2.3.1 时变线性系统的零输入响应
定理：设线性系统满足解的 存在唯一性条件，记 (t , t 0 )为
其状态转移矩阵，则零 输入响应为
(t , t 0 , x 0 ,0) (t , t 0 )x 0
2.3.2 时变线性系统的零初始状态响应
B (t )的所有元均为t的实值连续函数， u(t )的元连续实函数。
引理：
x 0 ，线性系统有解且唯一 的充要条件为：
1、A(t )所有元aij (t )绝对可积

t
t0
aij (t ) dt , i, j 1,2, , n (t ) dt , i 1,2, , n, k 1,2, , r (t ) dt , k 1,2, , r
定理：设线性系统满足解的 存在唯一性条件，记 (t , t 0 )为
其状态转移矩阵，则零 初始状态响应为
(t , t 0 ,0, u) (t , ) B( )u( )d
t0
多变量线性系统 线性系统的运动分析 8
t
2.3.3 时变线性系统的整体响应
根据线性系统的叠加原 理，线性系统由初始状 态和控制 输入u(t )所引起的整体状态响应 为 (t , t 0 , x 0 , u) (t , t 0 , x 0 ,0) (t , t 0 ,0, u) (t , t 0 )x 0 (t , ) B( )u( )d
线性系统的状态方程：
分析系统的运动的目的 ：从数学模型出发，定 量地和精确地给出系统
运动的变化规律，以便 对系统的实际运动过程 作出估计。
系统的运动：是系统对初始状态和 输入作用的响应。 运动的形态：主要由系统的结构和 参数所决定。 状态方程的解 x(t ) : 给出了系统运动形态对 系统的结构和参数的依 赖关系。
(t , ) e A(t ) 系统的状态响应为
(t , t 0 , x 0 , u) e
A ( t t 0 )
x 0 e A(t ) Bu( )d
t0
t
系统的输出响应为 (t , t 0 , x 0 , u) Ce A(t t0 ) x 0 C e A(t ) Bu( )d Du
(t , t 0 ) (t ) 1 (t 0 ) , t t 0 称为系统的转移阵。
多变量线性系统
线性系统的运动分析
6
2.2.3 状态转移矩阵的性质
状态转移矩阵 (t , t 0 )的性质： (1)自反性：t , 有 (t , t ) I n (2)反身性：t , t 0，有 1 (t , t 0 ) (t 0 , t ) (3)传递性：t 0 , t1 , t 2 , 有 (t 2 , t 0 ) (t 2 , t1 ) (t1 , t 0 ) 状态转移矩阵的唯一性 ：若齐次方程满足解的 存在唯一性， 则状态转移矩阵 (t , t 0 )与基本解阵的选取无关 ，且由矩阵 微分方程唯一确定 (t , t 0 ) A(t ) (t , t 0 ), (t 0 , t 0 ) I n
k
任意的输入可表示为 输出为
y (t ) G (t t k )u(t k ) t
k
t 0, 和式用积分表示
y (t ) G (t )u( ) d
零输入响应 (t , t 0 , x 0 ,0) :
状态方程 状态方程 A(t )x x x(t 0 ) x 0 , t [t 0 , t ] 的解 t [t 0 , t ]的解
零状态响应 (t , t 0 ,0, u) :
A(t )x B(t )u x x(t 0 ) 0,
At 求矩阵指数函数 e 的方法：
方法1 ：直接法 e
At
L ( sI A)
1
1
求n阶矩阵的逆，计算量大
多变量线性系统 线性系统的运动分析 11
方法2： Levirrier法
( sI A)
1
Adj( sI A) D( s )
D( s ) s n a n 1 s n 1 a1 s a 0 Adj( sI A) Rn 1 s n 1 Rn 2 s n 2 R1 s R0 Rn 0, a n 1 算法： Rn k Rn k 1 A a n k 1 I tr ( Rn k A) , k 1,2, , n a n k k

1 2 2!
t t
0
t p 1 t p 2 t e 1
13
线性系统的运动分析
方法4：利用Cayley Hmilton定理
根据Cayley Ham ilton 定理，e At可表示为 e At 0 (t ) I 1 (t ) A n 1 (t ) An 1 设Ａ为n阶方阵，且有互异特征 值i , 则 0 (t ) 1 1 (t ) 1 1 2 n 1 (t ) 1 n
多变量线性系统 线性系统的运动分析 5
基本解阵的性质： (t ) A(t ) (t ),且对某个t , (t )非 (1)若 (t )满足 0 0 奇异， (t )则必为齐次方程的基本 解阵。 (2)t , 基本解阵 (t )都是非奇异的。
定义：令 (t )为齐次方程的基本解阵 ，则
2.1 运动分析的含义
2.2 状态转移矩阵及其性质
2.3 线性时变系统的运动分析 2.4 线性定常系统的运动分析
2.5 脉冲响应矩阵
多变量线性系统
线性系统的运动分析
1
2.1 运动分析的含义 2.1.1 问题的提出及其解的存在唯一性
A (t )x B(t )u x 或 Ax Bu x x(t 0 ) x 0 , t [t 0 , t ] (2.1.1) (2.1.2) x(0) x 0 , t 0
A(t )x的所有解的集合 定理：齐次方程x 组成实数域上的 n维矢量空间（解空间） 。
2.2.2 状态转移矩阵的定义 定义： 设 i (t ), i 1,2,, n是其次方程的一组线性
独立的解，则 (t ) 1 (t ) 2 (t ) n (t ) 称为齐次方程的基本解 阵。
多变量线性系统 线性系统的运动分析 12
方法3：约当分解法
A的特征值互异 令 P p1 e At Pdiag e 1t e At Pdiag e J1t 1 t 0 1 Jt e 0 0
多变量线性系统
i j , 线性系统 线性系统的运动分析 15
t
2.5 脉冲响应矩阵 2.5.1 单变量情形的回顾
Y ( s ) G ( s )U ( s ) 拉氏反变换 令 有 y (t )

t
0
g (t )u ( ) d t t
g (t ), h(t ) 0, y (t )