习题九
1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为
πππ
,,343αβγ===
的方向导数。

解：
(1,1,2)(1,1,2)
(1,1,2)cos cos cos u u u u
y l x z αβγ
∂∂∂∂=++∂∂∂∂
22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ
cos
cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---
2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：
{4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r
AB u u u r
的方向余弦为
4312cos ,cos ,cos 131313αβγ=
== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u
yz x u
xz y
u
xy z ∂==∂∂==∂∂==∂
故4312982105.
13131313u l
∂=⨯+⨯+⨯=∂ 3. 求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
在点处沿曲线22
2
21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导
数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为
2222220,x y b x y y a b a y ''+==-
所以在点
处切线斜率为
2.b y a a '
==-
法线斜率为
cos a
b ϕ=
.
于是tan sin ϕϕ== ∵2222,,
z z x y x a y b ∂∂=-=-∂∂
∴
22
22
z
l a b
⎛
∂
=--=
∂⎝
4.研究下列函数的极值：
(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);
(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2)
22
()
e x y
-+
;
(5)z=xy(a－x－y),a≠0.
解：（1）解方程组
2
2
360
360
x
y
z x x
z y y
⎧=-=
⎪
⎨
=-=
⎪⎩
得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).
z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6
在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.
在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.
在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.
在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.
(2)解方程组
22
2
e(2241)0
2e(1)0
x
x
x
y
z x y y
z y
⎧=+++=
⎪
⎨
=+=
⎪⎩
得驻点为
1
,1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭.
22
2
2
4e(21)
4e(1)
2e
x
xx
x
xy
x
yy
z x y y
z y
z
=+++
=+
=
在点
1
,1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值
e
1
,1
2
2
z⎛⎫=-
-
⎪
⎝⎭. (3) 解方程组
2
2
(62)(4)0
(6)(42)0
x
y
z x y y
z x x y
⎧=--=
⎪
⎨
=--=
⎪⎩
得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).
Z xx=－2(4y-y2),
Z xy=4(3－x)(2－y)
Z yy=－2(6x－x2)
在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.
在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.
在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.
在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.
(4)解方程组
22
22
()22
()22
2e(1)0
2e(1)0
x y
x y
x x y
y x y
-+
-+
⎧--=
⎪
⎨
--=
⎪⎩
得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，
在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，
故函数z在点P0处取得极小值z=0.
再讨论函数z=u e-u
由
d
e(1)
d
u
z
u
u
-
=-
，令
d
d
z
u
=
得u=1,
当u>1时，
d
d
z
u
<
；当u<1时，
d
d
z
u
>
,
由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有
22
22()1()e e x y z x y -+-=+≤.
故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -
1
(5)解方程组(2)0(2)0x y z y a x y z x a y x =--=⎧⎨
=--=⎪⎩
得驻点为
12(0,0),,33a a P P ⎛⎫
⎪⎝⎭
z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .
故z 的黑塞矩阵为
222222y
a x y H a x y x ---⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦ 于是
122033(),().0233a
a a H P H P a a a ⎡⎤--⎢⎥
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
--⎢⎥⎣⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，
H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=
⎪⎝⎭,
H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3
,2733a a a z ⎛⎫=
⎪⎝⎭
.
5. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。

解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得
484,281
281z x z z y
x z x y z x ∂--∂-==
∂+-∂+-
令0,0,z z x y ∂∂==∂∂解得
0,2x y z ==-
, 将它们代入原方程，解得
162,7x x =-=
.
从而得驻点
16(2,0),,07⎛⎫- ⎪
⎝⎭. 2
222222
2
(281)(48)4828(281)
428,(281)
4(281)8
.
(281)z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z y
y z x ∂∂⎛⎫⎛⎫+-++--+ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭=∂+-∂⎛⎫+ ⎪∂∂⎝⎭=∂∂++∂-+--∂∂=∂+-
在点（-2，0）处，
44
1,,0,,
1515Z A B C ====B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1.。