1-2 杆弯矩图：
四 计算图形如下：
1
对主项梁，中间挠度：

故
R l3 3Pl 3 x 256EI 48EI
3 1 ， ，转化为弹性基础梁后，弹性基础刚度 256 48
k
弹性基础梁中点处受集中载荷
Ei 48Ei 3 al al 3
F
9 P P 16
五 选取基函数为 v( x)
M 0 l M 1l 3EI 6 EI 0 M 1l M 2l ql 2 M 0 l M 1l 6 EI 3EI 3E 2 I 6 E 2 I 24 E 2 I 2 M l ml 3 M 1l M 2 l ql 2 6 E 2 I 3E 2 I 24 E 2 I 3EI 6 EI l 3 A( M 2 m ) l
五 设挠曲面
6
w A sin
变形能
x
a
sin
y
b
V
D a b 2w 2w 2 2w 2 2w 2w {( ) ( 1 )[( ) 2 ]}dxdy 2 0 0 2 x 2 y xy x 2 y
D a b 2 2 x y [( 2 2 )A sin sin ]2 dxdy 2 0 0 a b a b 4 abD 1 1 2 2 ( 2 2) A 8 a b
取第一项，得：
4q0 a 4 48q0 a 4 (1 2 ) a a 16q a 4 w( , ) 2 0 4 6 2 2 D 4 D 6 DEt 3
船舶结构力学（杆系与板的弯曲及稳定性） （第二套）
一 1 力法：将杆系简化为若干两端简支的单跨梁，以单跨梁两端弯矩或挠度为未知数，利 用梁之间变形协调（位移连续）条件，列出方程求解，称为力法。 位移法：将杆系简化为若干两端刚性固定的单跨梁，以杆系节点处的位移为基本未知 数，利用梁之间弯矩平衡和剪力平衡列方程求解，称为位移法。 优劣：力法原则上可以解决一切杆系问题，但某些杆系（如节点处多于两根梁的杆系） 求解时未知数较多，而力法是一种普遍的计算方法，对于前述的某些杆系求解时未知数 少，使用方便，应用广泛，矩阵位移法和有限元法都是以位移法为基础的。 2 应变能：弹性体在外力作用下产生变形，弹性体因变形获得的能量即为应变能。
4
4 刚性板：中面力对玩去要素影响忽略可以不计的板。如小挠度变形板（wmax /t<1/5）或 有外加中面力但 u<0.5。 柔性板：中面力对弯曲要素影响不可忽略的板。如有外加中面力的小挠度板但 u>0.5， 或无外加中面力但 wmax/t>1/5。 正交异性板：刚度在互相垂直的二个方向上不同，形成构造上的各向异性的板。 5 因为在求解压杆稳定时压杆的微分方程是齐次的，只能根据方程有非零解求得某 一参数的几个确定离散值，这些参数与欧拉力有关，而方程本身无法求解。因此只 能求出欧拉力和挠曲线形状，而无法解出挠曲线幅值，也就不能确定失稳时的变形 值。 二 弯矩剪力图如下：
船舶结构力学（杆系与板的弯曲及稳定性） （第一套）
一（1）使梁某截面上的应力均达到屈服应力的弯矩就是此截面能承受的最大弯矩，称为极 限弯矩。 （2）由于支承条件或外力作用方式使构件扭转时截面+的翘曲受到约束，称为约束扭转。 （3）弹性固定端受到梁作用于固定端的弯矩 M 与固定端产生的转角 θ 成正比关系，转角 与弯矩的比值即为弹性固定端的柔性系数，α=θ/M （ 4） 在处理非弹性稳定问题时， 将弹性范围内的弹性模量 E 用非弹性阶段应力-应变曲线 的切线斜率 Et=dσ/dε 来代替，Et 即为材料的切线模数。 （ 5） 虚位移原理： 设结构在外力作用下处于平衡状态， 如果给结构一个可能发生的位移， 即虚位移， 则外力对虚位移做的虚功必定等于结构因虚变形获得的虚应变能。 虚位移研究的 是一组真实力系在任意满足变形协调条件的虚位移过程中的做功情况， 等价于结构平衡条件。 二 共四个未知数，M0 ,M1,M2 ,ν3, 方程式如下：
2
桁架结构应变能
V0 2 Al d 2 Al
0
0
0
0
2 P 3l d 3 2 A2
桁架结构余能
V0* 2 Al d 2 Al
0
1
0
0
2 2 P 3l d 2 6 2 A2
力函数表达式：
a 1 1 U P w( a, b) m w( x,0)dx 0 2 2
七 将 P 看作作用在 1-2 右端，m 作用在 1-2 右端。设各点转角分别为：θ1 , θ2 , θ3 , θ4 , θ5 , 其 中 θ2 为 1-3 杆在 2 处转角。 由对称性， 4-5 杆在 2 处转角为 0， 且 θ4 =-θ5 ， 由反对称性 θ1 =θ3 ， 设 2 处位移为 v2. 由 1、2、3、4 处弯矩平衡和 2 处剪力平衡列方程组：
解得： v2
Pl 3 7 Pl 2 Pl 2 2 Pl 2 Pl 2 , 1 , 2 ,3 , 4 12 EI 60 EI 60 EI 15EI 8EI
5 Pl 6
1-3 梁中间弯矩 M 21 弯矩图
八 将 w(x,y)写成下面级数形式：
w( x, y) Amn sin
a(sin
2x 2x ) ，满足：v(0)=0,v’(0)=0,v(l)≠0， v’(l)=0 l l
4 l l 1 1 4 4 2 2 16 2 2x 2 sin dx a EI 3 变形能： V EI v dx EI a 0 0 2 2 l4 l l 2 1 l 2 2 3 T v dx a T 2 0 l 4 2
三 共三个未知数，θ2 , θ3 , θ4
M 12 M 12
2 EI ql 2 2 EI ql 3 ql 2 2 ( ) l 12 l 120EI 10 4 EI ql 2 4 EI ql 3 ql 2 2 ( ) l 12 l 120EI 20
M 21 M 21
N max I

h2 2 0
yb2 dy 3.237
2412.5 6.4393 10 5

0.108
0
y 0.012dy 5.859kN / m
四 设各节点转角 θ1 , θ2 , 不考虑 2-4 杆失稳，因刚性杆，2 节点不会发生垂向位移。
2 EI Pl 4 EI 1 2 0 8 l l 2 Pl 2 EI 4 EI ql 4 EI 4 EI 0 1 2 2 2 l l 12 l l 8
m n
mx ny sin a a
带入 D▽2 ▽2 w=q，将 q 展为相应级数形式，得：
D Amn [(
m n
m 2 n 2 2 mx ny mx ny ) ( ) ] sin sin qmn sin sin a a a a a a m n
得：
3
Amn
其中
qmn m 2 n D[( ) ( ) 2 ]2 a a
正应力沿截面对中和轴反对称线性分布。 剪应力以剪流分布在工字梁截面。 翼板中点处剪流大小为σ
f1
N max I

b1 2 0
h2 2412.5 h1ds 2 6.4393 10 5

0.05
0
0.108 0.016ds 3.237kN / m 2

腹板中点处剪流大小为
f 2 f1
V0 d
0
1
余能：应力应变曲线上部分面积表示余能，是由力的变化引起的。
V0* d
0
1
应变能是应力应变曲线下方面积，余能是应力应变曲线上方面积，应变能是由应变变 化引起的，余能是由应力变化引起的，仅线性体系中应变能等于余能，而非线弹性体系 中二者不相等。 3 基本假定： （1）直法线假定。板变形前垂直于中面的法线变性后仍为直线，并且变形前在中面法 线上的点在变形后距中面距离不变。 （2）板在 z 方向正应力与其他应力分量相比忽略不计，即 σz =0，为平面应力情况 （3）不计板中面变形。
三 计算截面惯性矩
5
I 2 I1 I 2 b1h13 h h b h3 b1h1 ( 1 2 ) 2 ] 2 2 12 2 12 3 100 16 16 200 2 12 2003 2[ 100 16 ( ) ] 12 2 12 7 4 6.4393 10 mm 2[
六 由板临界应力公式 cr k k=4.0,m=3。故
2D
a 2t
，由 a/b=3 查《船舶结构力学》P209 图 6-13 得：
（1） 板失稳临界应力 cr 4
2D
a 2t
（2） 沿 x 方向半波数为 3，沿 y 方向半波数为 1 七 两杆中受拉力均为
2 2 P 1 P2 P , 故应力 0 ，应变 0 02 2 A 2 2 A2 2
2 EI 6 EI 4 EI l 1 l 2 l 2 v2 0(1处弯矩和为0) m 2 EI 4 EI 6 EI v 4 EI 2 EI 6 EI v （ 0 2处弯矩平衡） 1 2 2 2 3 2 l l l2 l l l2 2 EI 4 EI 6 EI 2 3 2 v2 （ 0 3处弯矩和为0） l l l 6 EI 4 EI 0 4处弯矩和为0） l 4 l 2 v2 （ P 6 EI 6 EI 12 EI v 6 EI 6 EI 12 EI v 2( 6 EI 12 EI v ) （ 0 2处剪力和为0） 1 2 2 2 3 2 4 2 l2 l2 l3 l2 l2 l3 l2 l3