§2.3 幂函数1.幂函数的概念一般地,形如y =x α(α∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. 幂函数的特征:(1)以幂的底为自变量,指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数);(2)x α前的系数为1,项数只有1项.要注意幂函数与指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)的区别,这里底数a 为常数,指数为变量.2.五个具体幂函数的图象与性质当α=1,2,3,12,-1时,在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示.结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下:(1)在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1);(2)如果α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数;(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴;当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴;(4)当α=1,3,-1时,幂函数为奇函数;当α=2时,幂函数为偶函数;当α=12时,幂函数既不是奇函数也不是偶函数.说明:对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”这一记忆的口诀.即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型,α>1时的图象是竖直抛物线型,0<α<1时的图象是横卧抛物线型,α<0时的图象是双曲线型题型一 理解幂函数的图象与性质下列结论中,正确的是( )A .幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)B .幂函数的图象可以出现在第四象限C .当幂指数α取1,3,12时,幂函数y =x α是增函数D .当幂指数α=-1时,幂函数y =x α在定义域上是减函数解析 当幂指数α=-1时,幂函数y =x -1的图象不通过原点,故选项A 不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y =x α(α∈R ),y >0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B 不正确;而当α=-1时,y =x -1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但它在定义域上不是减函数.答案 C题型二 幂函数定义及性质的应用已知幂函数f (x )=(t 3-t +1)x 15(7+3t -2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,求实数t 的值.分析 关于幂函数y =x α(α∈R ,α≠0)的奇偶性问题,设p q(|p |、|q |互质),当q 为偶数时,p 必为奇数,y =x p q 是非奇非偶函数;当q 是奇数时,y =x p q的奇偶性与p 的值相对应.解 ∵f (x )是幂函数,∴t 3-t +1=1, ∴t =-1,1或0.当t =0时,f (x )=x 75是奇函数;当t =-1时,f (x )=x 25是偶函数;当t =1时,f (x )=x 85是偶函数,且25和85都大于0,在(0,+∞)上为增函数.故t =1且f (x )=x 85或t =-1且f (x )=x 25.点评 如果题中有参数出现,一定要注意对参数的分类讨论,尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视.题型三 幂函数的图象如图是幂函数y =x m 与y =x n在第一象限内的图象,则( )A .-1<n<0<m<1B .n <-1,0<m <1C .-1<n <0,m >1D .n <-1,m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0,作直线x =x 0,与各图象有交点,则“点低指数大”.如图,0<m <1,n <-1.答案 B点评 在区间(0,1)上,幂函数的指数越大,图象越靠近x 轴;在区间(1,+∞)上,幂函数的指数越大,图象越远离x 轴.已知x 2>x 13,求x 的取值范围.错解 由于x 2≥0,x 13∈R ,则由x 2>x 13,可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征,尤其是y =x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布.正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示),易得x<0或x>1.幂函数在高考中几进几出,在课改实验区是高考的一个考点.主要考查五种具体幂函数的图象和性质,以客观题形式出现,属于试卷中的容易题.(山东高考)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,1,12,3,则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A .1,3B .-1,1C .-1,3D .-1,1,3解析 根据幂函数的定义和性质易得x =1,3时,定义域为R 且为奇函数. 答案 A1.在函数y =1x2,y =2x 2,y =x 2+x ,y =1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A .1B .0C .2D .3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定,应选C.2.幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12,那么f (8)的值为( ) A .2 6 B .64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )=x α (α为常数),将⎝ ⎛⎭⎪⎫4,12点代入得12=4α,∴α=-12,f (x )=x -12,∴f (8)=8-12=24.3.如果幂函数y =(m 2-3m +3)·xm 2-m -2的图象,不过原点,则m 的取值是( ) A .-1≤m ≤2 B .m =1或m =2 C .m =2 D .m =1 答案 B解析 据幂函数的定义,知m 2-3m +3=1, 所以m =1,m =2.又图象不过原点,所以m 2-m -2≤0,经验证,m =1,m =2均适合. 4.下列函数中,值域为[0,+∞)的函数是( )A .y =2xB .y =x 2C .y =x -2D .y =log a x (a >0,且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象,选B.5.若幂函数y =f (x )的图象经过点(2,2),则f (25)的值是________. 答案 5解析 设y =x α,∵点(2,2)在y =x α的图象上,∴2=2α,∴α=12,∴f (x )=x 12.故f (25)=2512=5.6.幂函数y =x α(α∈R )的图象一定不经过第________象限. 答案 四7.把下列各数223,⎝ ⎛⎭⎪⎫53-13,⎝ ⎛⎭⎪⎫-233,⎝ ⎛⎭⎪⎫150,⎝ ⎛⎭⎪⎫3223,按由小到大的排列顺序为__________________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53-13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.8.已知幂函数f (x )=x -12,若f (a +1)<f (10-2a ),则a 的取值范围是________.答案 3<a <5解析 f (x )=x -12=1x (x >0),由图象知x ∈(0,+∞)时为减函数,又f (a +1)<f (10-2a ),∴⎩⎪⎨⎪⎧a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a .得⎩⎪⎨⎪⎧a >-1,a <5,a >3.∴3<a <5.9.在图中,只画出了函数图象的一半,请你画出它们的另一半,并说出画法的依据.解 对于①y=x-1为奇函数,其图象关于原点对称,可画出另一半,如图(1);对于②y=-x3为奇函数,其图象关于原点对称,可画出另一半,如图(2);对于③④y=x2+1和y=-x 4都为偶函数,其图象都关于y 轴对称,可画出另一半,如图(3)(4).10.已知f (x )=(m 2+2m )·xm 2+m -1,m 是何值时,f (x )是 (1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数. 解 (1)若f (x )为正比例函数,则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2+m -1=1m 2+2m ≠0,∴m =1. (2)若f (x )为反比例函数,则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m -1=-1m 2+2m ≠0,∴m =-1. (3)若f (x )为二次函数,则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2+m -1=2m 2+2m ≠0,∴m =-1±132.(4)若f (x )为幂函数,则m 2+2m =1,∴m =-1±2。
学习目标1.掌握幂函数的概念.2.熟悉α=1,2,3,12,-1时幂函数y =x α的图象与性质.3.能利用幂函数的性质来解决一些实际问题.预习自测1.一般地,幂函数的表达式为y =x α;其特征是以幂的底数为自变量,指数为常数. 2 y =x y =x 2 y =x 3 y =x 12y =x -1定义域值域 奇偶性 单调性 定点在同一坐标系中,幂函数y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x 21,y =x -1的图象如图.结合图象,填写上表.答 如图所示y=x y=x2 y=x3 y=x 21 y=x 1定义域RRR[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)值域 R[0,+∞)R[0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇 偶 奇非奇非偶奇单调性增[0,+∞)↑(-∞,0]↓增增(0,+∞)↓(-∞,0)↓定点(0,0), (1,1)(0,0), (1,1)(0,0), (1,1)(0,0), (1,1) (1,1)一、理解幂函数的概念例1 函数f (x )=(m 2-m -1)xm 2+m -3是幂函数,且当x ∈(0,+∞)时,f (x )是增函数,求f (x )的解析式.分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ,再由单调性确定m . 解 根据幂函数定义得m 2-m -1=1,解得m =2或m =-1,当m =2时,f (x )=x 3在(0,+∞)上是增函数;当m =-1时,f (x )=x -3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故f (x )=x 3.点评 幂函数y =x α(α∈R ),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x 为自变量,指数α为常数(也可以为0).这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.对本例来说,还要根据单调性验根,以免增根.变式迁移1 已知y =(m 2+2m -2)x 1m 2-1+2n -3是幂函数,求m ,n 的值.解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2+2m -2=1m 2-1≠02n -3=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-3n =32,所以m =-3,n =32.二、幂函数单调性的应用例2 比较下列各组数的大小(1) 3-52与3.1-52;(2)-8-78与-⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性,当不便利用单调性时,可用0与1去比较,这种方法叫“搭桥”法.解 (1)函数y =x -52在(0,+∞)上为减函数,又3<3.1,所以3-52>3.1-52.(2)-8-78=-⎝ ⎛⎭⎪⎫1878,函数y =x 78在(0,+∞)上为增函数,又18>19,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978,从而-8-78<-⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评 比较大小的题,要综合考虑函数的性质,特别是单调性的应用,更善于运用“搭桥”法进行分组,常数0和1是常用的参数.变式迁移2 比较下列各组数的大小: (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-23与⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23;(2)4.125,(-1.9)35与3.8-23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-23=⎝ ⎛⎭⎪⎫23-23,⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23=⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-23,∵函数y =x -23在(0,+∞)上为减函数,又∵23>π6,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-23-23=⎝ ⎛⎭⎪⎫23-23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-23=⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6-23. (2)(4.1)25>125=1,0<3.8-23<1-23=1,(-1.9)35<0,所以(-1.9)35<3.8-23<(4.1)25.三、幂函数性质的综合应用例3 已知幂函数y =x 3m -9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随x 的增大而减小,求满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m3的a 的范围.解 ∵函数在(0,+∞)上递减, ∴3m -9<0,解得m <3,又m ∈N *,∴m =1,2.又函数图象关于y 轴对称, ∴3m -9为偶数,故m =1,∴有(a +1)-13<(3-2a )-13.又∵y =x -13在(-∞,0),(0,+∞)上均递减,∴a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a 或a +1<0<3-2a ,解得23<a <32或a <-1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时,一定要考虑幂函数的定义.(2)幂函数y =x α,由于α的值不同,单调性和奇偶性也就不同.变式迁移3 已知幂函数y =xm 2-2m -3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点,且关于y 轴对称,求m 的值,且画出它的图象.解 由已知,得m 2-2m -3≤0,∴-1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ,∴m =-1,0,1,2,3,当m =0或m =2时,y =x -3为奇函数,其图象不关于y 轴对称,不符合题意.当m =-1或m =3时,有y =x 0,其图象如图①所示.当m =1时,y =x -4,其图象如图②所示.1.本节的幂函数不同于其他几种初等函数,虽然形式只有一种:y =x α,但随α值的不同所产生的多种幂函数,在性质、图象方面有一些差异,所以幂函数知识比较繁琐,须把握规律,加强理解和记忆.2.幂函数y =x α与指数函数y =a x(a >0,a ≠1)在形式上有相近的地方,但有本质的不同.(1)幂函数的自变量是底数,指数函数的自变量是指数.(2)指数函数是整个定义域上的单调函数,但幂函数却不一定. (3)有些幂函数有奇偶性,但所有的指数函数都不具有奇偶性.一、选择题 1.下列命题:①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0); ②幂函数的图象不可能在第四象限;③n =0时,y =x n的图象是一条直线;④幂函数y =x n,当n >0时,是增函数;⑤幂函数y =x n,当n <0时,在第一象限内函数值随x 值的增大而减小. 其中正确的是( )A .①和④B .④和⑤C .②和③D .②和⑤ 答案 D2.下列函数中,不是幂函数的是( )A .y =2xB .y =x -1C .y =xD .y =x 2答案 A3.设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-2,-1,-12,13,12,1,2,3,则使f (x )=x α为奇函数且在(0,+∞)内单调递减的α值的个数是( )A .1B .2C .3D .4 答案 A4.当x ∈(1,+∞)时,下列函数图象恒在直线y =x 下方的偶函数是( )A .y =x 12B .y =x -2C .y =x 2D .y =x -1答案 B5.如果幂函数y =(m 2-3m +3)·xm 2-m -2的图象不过原点,则m 的取值是( ) A .-1≤m ≤2 B.m =1或m =2 C .m =2 D .m =1 答案 B解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m +3=1m 2-m -2≤0∴m =1或m =2. 二、填空题6.若幂函数y =f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9,13,则f (25)=________________________________________________________________________.答案 15解析 设f (x )=x α,则9α=13,α=-12.∴f (25)=25-12=15.7.设幂函数y =x α的图象经过点(8,4),则函数y =x α的值域是______________. 答案 [0,+∞)解析 由4=8α,得α=23,∴y =x 23≥0.8.如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象,已知α取±2,± 四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α依次为 .答案 2,12,-12,-2三、解答题9.已知点(2,2)在幂函数f (x )的图象上,点⎝⎛⎭⎪⎫-2,14在幂函数g (x )的图象上,问当x 为何值时,(1)f (x )>g (x );(2)f (x )=g (x );(3)f (x )<g (x ).解 设f (x )=x α,由题意得:2=(2)2⇒α=2,∴f (x )=x 2.同理可求:g(x)=x-2,在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象,如图所示. 由图象可知:(1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x).(2)当x=±1时,f(x)=g(x).(3)当-1<x<0或0<x<1时,f(x)<g(x).10.已知函数y =(a 2-3a +2)xa 2-5a +5 (a 为常数). (1)a 为何值时此函数为幂函数? (2)a 为何值时此函数为正比例函数? (3)a 为何值时此函数为反比例函数?解 (1)由题意,得a 2-3a +2=1,即a 2-3a +1=0.解得a =3±52,即a =3±52时,此函数为幂函数;(2)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-5a +5=1,a 2-3a +2≠0.解得a =4,即a =4时,此函数为正比例函数; (3)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-5a +5=-1,a 2-3a +2≠0.解得a=3,即a=3时,此函数为反比例函数.用心爱心专心- 11 -。