第8讲 牛顿插值公式§1.4 差商与差分及其性质 1 差商的概念:称10110)()(],[x x x f x f x x f --=为函数f (x )的一阶差商；称21021210],[],[],,[x x x x f x x f x x x f --=为函数f (x )的二阶差商；一般地，称010110],...,[],...,[],...,,[x x x x f x x f x x x f n n n n --=-为函数f (x )的n 阶差商；特别地，定义)(][00x f x f =为函数f (x )关于x o 的零阶差商。

由此可知，高阶差商总是由比它低一阶的的两个差商组合而成。

2（a ）n 阶差商可以表示成n +1个函数值01,,,n y y y 的线性组合,即∑-----==+-ki n i i i i i i i i k x x x x x x x x x x x f x x f 011100)())(())(()(],...,[该性质说明：k 阶差商],...,,[10n x x x f 计算是由函数值f (x 0),f (x 1),…f (x k )线性组合而。

如:],,[],,[],,[012201210x x x f x x x f x x x f ==；011100010110)()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+-=--=))(()())(()())(()()()()()()()()()()()(],[],[],,[120222101120100021221210111000111000201011212021021210x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x x x f x f x x x f x f x x x x f x x f x x x f --+--+--=--+------=-+-=------=--=对称性): 差商与节点的顺序无关。

即0110[,][,]f x x f x x =，012102021[,,][,,][,,]f x x x f x x x f x x x ==这一点可以从性质1看出。

3 利用差商表计算差商利用差商的递推定义,可以用递推来计算差商。

4 差分的概念定义设函数y=f (x )在等距节点),,1,0(0n i ih x x i =+=上的函数值f (x i )=f i ,其中，h 为常数称作步长。

称△f i =f i+1-f i ▽f i =f i -f i-1δf i =f (x i +h /2)-f (x i -h /2)=2121-+-i i ff分别为f (x )在i x处以h 为步长的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心差分。

称符号△、▽、δ分别为向前差分算子，向后差分算子和中心差分算子。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∇-∇=∇∆-∆=∆-+-+211-n 211-n n 11-n 1-n n 1-n 11-n n i i i i i i i i i ff f f f f f f f δδδ 在节点等距情况下，差商可用差分表示，设步长i i x x h -=+1，有 i i i i i i i y hx x x f x f x x f ∆=--=+++1)()(),(111i i i i i i i i i i i i y hy y h x x x x f x x f x x x f 221221212121)(21),(),(),,(∆=∆-∆=--=+++++++一般形式(数学归纳法可证)i kk k i i i y h k x x x f ∆=++!1),...,,(1§1.5 牛顿插值公式1. 牛顿插值公式的构造Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 l i (x ) 都需重新算过。

本节介绍另外一种方法-牛顿插值法，并用它解决上面所述问题。

由线性插值)()(0010101x x x x y y y x N ---+=，令)()(,,01010101100x x a a x N x x y y a y a -+=--== 二次插值能否写成))(()()(1020102x x x x a x x a a x N --+-+=由条件222112002)(,)(,)(y x N y x N y x N ===得120101020220101100,,x x x x y y x x y y a x x y y a y a ------=--== 推广得))...((...))(()()(10102010---++--+-+=n n n x x x x a x x x x a x x a a x N ,其中，n a a a ,,,10 为待定系数。

如何求n a a a ,,,10 ?解: 因为000()()[,]f x f x f x x x x -=-,所以000()()[,]()f x f x f x x x x =+-(0)又001011[,][,][,,]f x x f x x f x x x x x -=-,有001011[,][,][,,]()f x x f x x f x x x x x =+- (1)又010120122[,,][,,][,,,]f x x x f x x x f x x x x x x -=-010120122[,,][,,][,,,]()f x x x f x x x f x x x x x x =+- (2)一般地,nn n n x x x x x f x x x x f x x x x f --=-],...,,[],...,,,[],...,,,[1011010)](,...,,,[],...,,[],...,,,[1010110n n n n x x x x x x f x x x f x x x x f -+=- (n)将式(n)代入式(n-1), ...,式(2)代入式 (1),式(1)代入式 (0), 如此可得:0010()()[,]()f x f x f x x x x =+-01201[,,]()()f x x x x x x x +--+01011[,,,]()()()n n f x x x x x x x x x -+--- 0101[,,,,]()()()n n f x x x x x x x x x x +---尤为注意的是：最后一项中,差商部分含有x ,乃是余项部分,记作()n R x ;而前面n +1项中,差商部分都不含有x ,因而前面n +1项是关于x 的n 次多项式,记作()n N x ,这就是牛顿插值公式。

2 算例例1:当n=1时，0010()()[,]()f x f x f x x x x =+-0101[,,]()()f x x x x x x x +--,其中,10010()()[,]()N x f x f x x x x =+-010001()y y y x x x x -=+--。

这就是牛顿一次插值多项式，也就是点斜式直线方程。

当n=2时,0010()()[,]()f x f x f x x x x =+-01201[,,]()()f x x x x x x x +--012012[,,,]()()()f x x x x x x x x x x +---20010()()[,]()N x f x f x x x x =+-01201[,,]()()f x x x x x x x +--这就是牛顿二次插值多项式。

显然,200()()N x f x =,0121010101()()()()()()f x f x N x f x x x f x x x -=+-=-012202001()()()()()f x f x N x f x x x x x -=+--01122021020112()()()()1()()f x f x f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫--+--- ⎪---⎝⎭2()f x =。

即2()N x 满足二次插值条件。

0()0f x =,01[,]1f x x =,012[,,]4f x x x =,0123[,,,] 1.25f x x x x =-;则牛顿三次插值多项式为3()0(1)4(1)(3)N x x x x =+-+⨯--1.25(1)(3)(4)x x x -⨯---。

1 拉格朗日插值与牛顿插值的比较(1)()n P x 和()n N x 均是n 次多项式, 且均满足插值条件:()()(), 0,1,,n k n k k P x N x f x k n===。

由多项式的唯一性,()()n n P x N x ≡,因而,两个公式的余项是相等的,即(1)01()[,,,]()()(1)!n n n n f f x x x x x x n ξωω+=+(2)当插值多项式从n-1次增加到n 次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n 阶差商,然后加上一项即可。

4 等距牛顿插值公式 插值节点为等距节点：0k x x kh =+，0,1,,k n =,如下图：h h h ... h牛顿插值公式 设等距节点0k x x kh=+，记(),0,1,,k k y f x k n ==.当0[,]n x x x ∈，令0x x th =+，0t n ≤≤. 例如（下图）123x 在x 2，x 3的中点时，0 2.5x x h=+。

将牛顿插值公式中的差商用差分代替,而00()()(),k x x x th x kh t k h -=+-+=-从而,牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为:00()n N x y t y =+∆+32000111(1)(2)(1)(1)(1)3!!2!n t t t y t t t n y t t y n +--∆++--+∆-∆余项为(1)(1)11()()()(1)!(1)!n n R x f x f n n n n ξω++==++1()(1)()n h t t t n ξ+-- 这是等距牛顿向前插值公式。

例4: 设()xy f x e ==插值节点为1,1.5,2,2.5,3x =,相应的函数值如下表,求f (2.2)。

此时[x k , x k+1],x =2.2=1+2.4h 故t=2.4,于是2200018.87232(2.2)(1)2!N y t y t t y ==+∆+-∆求3(2.2)N 时，在(.)2N 22后加一项：13(1)(2)03!t t t y--∆ ,12.4(2.41)(2.42)0.742100.166236=⨯⨯-⨯-⨯=，所以32(2.2)(2.2)0.166239.03855N N =+=求4(2.2)N 时，在3(2.2)N 后再加一项：401(1)(2)(3)4!t t t t y ---∆ 12.4(2.41)(2.42)(2.43)0.4814624=⨯⨯-⨯-⨯-⨯0.01618=-，所以43(2.2)(2.2)0.016189.02237N N =-=2320.15269 , 0.01354 , 0.00264R R R ==-=。