题目：牛顿插值法在凸轮修正设计中的应用算法：Newton插值法组号：6组员：赵冬冬闫鹏田二方李婵娟张帅军郑亚军刘洋郭洋波牛顿插值法在凸轮修正设计中的应用赵冬冬，闫鹏，田二方，李婵娟，郭洋波，张帅军，郑亚军，刘洋（河南理工大学机械与动力工程学院,河南焦作 454000）摘要：本文利用牛顿插值法，提出了一种简单实用的凸轮工作轮廓线的修正方法。
首先对要进行修正的的曲线附近的一些离散点的数据进行分析处理，确定插值多项式的阶次以满足高精度和低运算量的要求。
然后利用Matlab编程计算出插值点的值，并进行误差分析，实现对凸轮的局部工作廓线进行修正。
关键词：凸轮轮廓线；牛顿插值；修正Interpolation method Newton inthe design of CAM fixed application ZHAO Dongdong,YAN Peng,TIAN Erfang,LI Chanjuan,,GUO Yangbo,ZHANGShuaijun,ZHENG Yajun,LIU Yang(School of Machinery and power engineering Henan polytechnicuiversity ,Jiaozuo 454000)Abstract: Based on the Newton interpolation method, we put forward a simple but practical solution to the work of the cam contour correction. Firstly,we rehandle the discrete data nearby the premodifying curve and get the order of the polynomial to meet the demand of high precision and low computation.Then The Newton interpolation and error analysis are realized by matlab programming. SO far ,we’ve resolved the problem of the cam contour correction .Key words: Newton interpolation; cam contour;correction0．问题背景在自动包装机或包装线中，为保证各个机械间歇运动的快捷与准确，常常采用凸轮机构来实现。
包装材料、产品和包装地间歇输送、翻转或转移、工作转台的间歇转位，工作机构带停留段的往复运动，有特定位移、速度或加速度要求的动作等，均属于简谐运动范围，正确设计或选用简谐运动机构，对包装机的运行性能具有关键性的作用。
凸轮机构在高速包装机械设备中应用更广泛，是一种不可缺少和替代的重要机构。
1．问题分析及模型高速包装机械中凸轮工作廓线的设计多采用解析法，这样既保证了凸轮的运动特性，又便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析，因此这就使得在不同工况下，凸轮设计的解析方程式往往是不相同的。
这样虽然能保证凸轮的精度，但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度，因为只有建立新的解析方程式才能对凸轮进行修正，尤其是只需对凸轮局部曲线进行修正时，也要建立相应的解析方程，这样就使曲线修正的工作量大增，工作效率降低[1]。
基于减小修正量和提高工作效率的考虑，所以考虑插值法中的牛顿插值，提出了一种简单、实用的凸轮工作廓线的修正设计方法，这种方法不必对原有的解析方程进行修改计算，只需通过对要进行修正的曲线附近的一些离散点的数据进行处理，就能对现有凸轮工作廓线进行修正，特别适合凸轮曲线在实际使用中的局部修正设计[2]。
已知两个变量X,Y 之间的一个离散的函数关系式Yi=F(Xi) i=0，l ，2，…，n ，即给出一 个数据表例如： _________________作者简介：赵冬冬（1988—），男，河南济源人，硕士研究生，主要从事先进制造方向研究。
邮 箱：451896301@表1找到一个与原函数近似的简单的多项式函数，使其在一部分离散点 i x ，0x ，1x ，……n x 的值分别与()i x f ，()0x f ，()1x f ……()n x f 相等。
根据以上要求，可以使用插值多项式来逼近原解析函数。
2. 算法的数学原理Lagrange 插值公式结构紧凑，便于理论分析。
利用插值基函数也容易得到插值多项式的，Lagrange 插值公式的缺点是，当插值节点增加，或其位置变化时，全部插值基函数均要随之变化，从而整个插值公式的结构也发生变化，这在实际计算中是非常不利的。
下面引入的Newton 插值公式也可以克服这个缺点。
Newton 插值多项式可以灵活的增加插值节点进行递推计算。
该公式形式对称，结构紧凑，因而容易编写计算程序。
Newton 插值多项式为[3]：()()[]()x x x x f x f x N k Nk k n ω∑=+=1,,1,00...其中：[][][]01101010,...,,,...,,,...,,x x x x x f x x x f x x x f k k k k --=-i x 0x 1x ... n x ()i x f ()0x f ()1x f ... ()n x f称之为()x f 在k x x x ...,,10上得k 阶均差。
实际计算中，可以由插商表计算。
如图所示：表2k x ()k x f 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差0x ()0x f1x ()1x f []10,x x f2x ()2x f []21,x x f []210,,x x x f3x ()3x f []32,x x f []321,,x x x f []3210,,,x x x x f 4x()4x f[]43,x x f []432,,x x x f []4321,,,x x x x f[]43210,,,,x x x x x f3. 算法的MATLAB 实现 3.1实验数据高速包装机上有一凸轮，其工作廓线共有分A 、B 、C 三段，在实际的使用中发现A 段和c 段的行程符合设计要求，而B 段的行程须进行修正设计。
已知凸轮A 段曲线数据，如表3所示。
表3已知凸轮C 段曲线数据，如表4所示。
表4一般来说，使用的已测数据点越多，可获得的信息量越大，对未知点的估计越精确。
在牛顿插值算法中，使用已测数据点越多，会导致插值多项式的次数过高，出现龙格现象，曲线也会有较多折点。
而凸轮的工作多为翻转，需要其工作廓线有很好的圆滑性。
由于距离插值点越近的数据对插值点数值的精度影响越大，本文使用i x 239 240 241 242 243 ()i x f 14.227 14.03 13.854 13.681 13.526 i x 249 250 251 252 253 ()i x f 13.098 13.095 13.085 13.067 13.039i x =242,243,249,250这4个点的数据，根据牛顿插值的定义做差商表，如图表5所示。
表5由差商表可知，二阶差商的值已接近常数，故牛顿插值多项式近似为二阶即可满足精度要求。
为保证其圆滑性，本文采用三次牛顿插值多项式来求B 段i x =244,245...248的修正值。
3.2 Matlab 程序代码function f=Newton(x,y,P) syms t;n=length(x); m=length(y); if m~=nerror('样本数据中x 与y 的对应个数不匹配'); return endA=zeros(n); A(:,1)=y; for j=2:n for i=1:(n-j+1)A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i)); end end Af=A(1,1); for j=2:n T=1;for i=1:j-1T=T*(t-x(i)); endf=f+A(1,j)*T; endf = vpa(f,6); f=simplify(f) f=subs(f,'t',P) plot(x,y,'*',P,f); 保存为Newton.m 文件。
i x ()i x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 242 13.681243 13.526 -0.155249 13.098 -0.07133 0.011952250 13.095 -0.003 0.009762 -0.000274. 计算结果及结果的分析、验证4.1计算结果>>>> x = [242 243 249 250 ];y = [13.681 13.526 13.098 13.095 ];x0=[241,244,245,246,247,248,251]f=Newton( x , y ,x0);x0 =241 244 245 246 247 248 251A =13.6810 -0.1550 0.0120 -0.000313.5260 -0.0713 0.0098 013.0980 -0.0030 0 013.0950 0 0 0f =51.1910-.155000*t+.119524e-1*(t-242.)*(t-243.)-.273810e-3*(t-242.)*(t-243.)*(t-249.)f =4763.37987854-55.12024951*t+.21292894*t^2-.27381e-3*t^3f =13.8643 13.3976 13.2943 13.2143 13.1560 13.117813.1071240242244246248250252 1313.213.413.613.8144.2.结果分析观察上述插值图像，直观上可以满足凸轮工作廓线的圆滑度。
具体的数值精度，可以通过量化计算得到。
在上述程序中，对x0 =241，244，245，246，247，248，251的值均作了插值处理。
其中计算点x0 =241， 251的值是为了与已知的数据点对比，从而检验牛顿插值计算的精度。
插值点实际值计算值绝对误差相对误差241 13.854 13.3864 0.4676 0.0338251 13.085 13.1071 0.0221 0.0017可以看出，相对误差都控制在5%以内，属于较好的插值结果。
又由于用来检验精度的两个点均为插值数据的外点，误差比内点大得多，故在B 段曲线上的点的数据精度应该更高，插值效果更好。