复习题
1 设 (U , R) 为 Pawlak 近似空间， X , Y U 。证明 （1） R( X Y ) R( X ) R(Y ) ， （2） R( X Y ) R( X ) R(Y ) . 并举例说明下列两条一般不成立：
R( X Y ) R( X ) R(Y ) ， R( X Y ) R( X ) R(Y ).
定理 设 (U , R) 是一个广义近似空间，下列诸条等价： （1） R 是对称二元关系； （2）任意 X U ， X R( R( X )) ； （3）任意 X U ， R( R( X )) X 。
3 变精度粗糙集
定义： 设 (U , R) 为近似空间， 0 0.5 。对于任意的
1 B U
R
j 1
r
B
(D j ) ；
其中 D( D j [ x] B )
D j [ x] B [ x] B
是 [ x]B 包含于 D j 的程度。
对于决策表 S (U , A {d},V , f ) ， x, y U ，令
{a A; f ( x, a) f ( y, a)}; A ( x) A ( y) 。 1 ( x, y) ; A ( x) A ( y)

High

High

Low

其中 P, M , S , X 为条件属性， d 为决策属性。设 X {2,3, 4} 。
（1） 计算 Sim(B)( X ) 与 Sim(B)( X ) 。 （2） 计算 NSB ( X ) 与 NSB ( X ) 。 注： Sim(B) {( x, y) U U ;a B(a( x) a( y) a( x) a( y) ) ，
R ( X ) {x U | P([ x]R , X ) }，
R ( X ) {x U | P([ x]R , X ) 1 } 。
（2）令 0.5 1，


R ( X ) {x U |


[ x]R X [ x]R [ x]R X [ x]R
计算 apr ( X ) ， apr ( X ) 。
7 针对不完备决策表： Car 1 2 3 4 5 6 Price(P) High Low Mileage(M) High Size(S) Full Full Compact Full Full Full Max-speed(X) Low Low High High High
X U ， X 关于 (U , R) 的 下近似 R ( X ) 、 上近似

R ( X ) 分别定义为：
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) } ，
R ( X ) {[ x]R ; P([ x]R , X ) 1 } 。



等价定义（1）
定理 设 (U , R) 是一个广义近似空间，下列诸条等价： （1） R 是自反二元关系； （2）对于任意 X U ， R( X ) X ； （3）对于任意 X U ， X R( X ) 。
定理 设 (U , R) 是一个广义近似空间，下列诸条等价： （1） R 是传递二元关系； （2）对于任意 X U ， R( X ) R( R( X )) ； （3）对于任意 X U ， R( R( X )) R( X ) 。
R( A)( x) ( R( x, u ) A(u )) ，
uU
R( A)( x) ((1 R( x, u )) A(u )).
uU
5 不完备决策表中对象的相似关系
容差关系
非对称相似关系 量化容差关系
6 决策表的正域约简
设 S (U , A {d},V , f ) 是决策表，其中 A 为条件属性集合，
4 设 (U , R) 是一个广义近似空间，证明下列诸条等价： （1） R 是对称二元关系； （2）任意 X U ， X R( R( X )) ； （3）任意 X U ， R( R( X )) X 。
5 设 (U , R) 为 Pawlak 近似空间, X , Y U ，
0 0.5 。证明：
其中 [ x]R y U ;( x, y) R 为 x 关于 R 的等价类。
2 广义粗糙集模型
设 U 是非空集合，称为论域， R 是 U 上的一个二元关系，即 R U U ， 称 A (U , R) 为一个广义近似空间，对于任意 X U , X 关于 A 的上、 下近似分别定义为：
定理 设 S (U , A {d},V , f ) 是决策表且 B A 。则 B 是分布协调集的 充分必要条件为：若 1 ( x, y) ，则 B 1 ( x, y) .
称布尔合取范式 1
A ( x ) A ( y )
1 ( x, y)
为决策表 S 的分布区分函数。 定理 6.3.5 决策表 S (U , A {d},V , f ) 的分布区分函数的 极小析取范式的所有合取子式恰为 A 的所有分布约简。
2 设 (U , R) 是一个广义近似空间，证明下列三条件等价： （1） R 是传递二元关系； （2）对于任意 X U ， R( X ) R( R( X )) ； （3）对于任意 X U ， R( R( X )) R( X ) 。 3 设 (U , R) 是一个广义近似空间，证明下列三条件等价： （1） R 是欧几里德关系，即对于任意 x, y, z U ，若 y RS ( x) 且 z RS ( x) ，则 z RS ( y) ； （2）对于任意 X U ， R( X ) R( R( X )) ； （3）对于任意 X U ， R( R( X )) R( X ) 。
d 为决策属性。若 B A 满足 posB (d ) posA (d ) ，
则称 B 是 S 的一个正域协调集；极小的（关于集合包含关系） 正域协调集称为 S 的正域约简，也称为 A 的正域约简。
对于任意 x, y U ，令 ( x, y) 表示下列条件：
x posA (d ) y posA (d ) ，
称布尔合取范式 2
A ( x ) A ( y )

2 ( x, y ) 、 3
A ( x ) A ( y )

3 ( x, y)
分别为决策表 S 的最大分布区分函数和分配区分函数。
定理 设 S (U , A {d},V , f ) 为决策表。 （1） 2 的极小析取范式的所有合取子式恰为 A 的所有最大分布约简。 （2） 3 的极小析取范式的所有合取子式恰为 A 的所有分配约简。
}，
R ( X ) {x U |
1 } 。
基本性质
定理： 设 (U , R) 为近似空间。对于任意的 X , Y U ，
0 0.5 ，下列关系成立：
（1） R (U ) R (U ) U ， R () R () ； （2）若 X Y ，则 R ( X ) R (Y ) ， R ( X ) R (Y ) ； （3） R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ， R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ，
（1） R ( X ) ~ R (~ X ) ， R ( X ) ~ R (~ X ) ； （2） X R ( X ) . 6 设 U x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ， X x1, x2 , x4 ，

1, x1 ),( x1, x2 ),( x2 , x3 ),( x3 , x3 ),( x4 , x1),( x4 , x2 ) ，
类似地，对于任意 x, y U ，令
{a A; f ( x, a) f ( y, a)}; A ( x) A ( y) ， 2 ( x, y) ; A ( x) A ( y) {a A; f ( x, a) f ( y, a)}; A ( x) A ( y) 3 ( x, y) . ; A ( x) A ( y)










R ( X Y ) R ( X ) R (Y ) ， R ( X Y ) R X R Y ；






（4） R ( X ) R ( X ) ； （5） R ( X ) ~ R (~ X ) ， R ( X ) ~ R (~ X ) ； （6） X R ( X ) ； （7）若 ，则 R ( X ) R ( X ) ， R ( X ) R ( X ) 。
R( X ) x U ; Rs ( x) X ；
R( X ) x U ; Rs ( x) X ，
其中 Rs ( x) y U ; ( x, y) R，称为 x 关于 R 的右邻域。
基本性质
定理： 设 A (U , R) 是一个广义近似空间，对于任意 X , Y U ， （1） R(~ X ) ~ R( X ) ， R(~ X ) ~ R( X ) . （2） R(U ) U ， R() . （3） R( X Y ) R( X ) R(Y ) ， R( X Y ) R( X ) R(Y ) . （4） X Y 时， R( X ) R(Y ) ， R( X ) R(Y ) . （5） R( X Y ) R( X ) R(Y ) ， R( X Y ) R( X ) R(Y ).
定理 决策表 S (U , A {d},V , f ) 的区分函数
( x, y )
x , yU