基本不等式
令狐采学
一、基础知识
1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+；
（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅那时b a =取“=”）．
2．（1）若00a ,b >>，则ab b a ≥+2
； （2）若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅那时b a =取“=”）；
（3）若00a ,b >>，则22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅那时b a =取“=”）． 3．若0x >，则12x x
+≥（当且仅那时1x =取“=”）； 若0x <，则12x x +≤-（当且仅那时1x =-取“=”）；
若0x ≠，则1
2x x +≥，即12x x +≥或12x x
+≤-（当且仅那时b a =取“=”）．
4．若0>ab ，则2≥+a b b a （当且仅那时b a =取“=”）； 若0ab ≠，则2a b b a +
≥，即2a b b a +≥或2a b b a
+≤-（当且仅那时b a =取“=”）． 5．若R b a ∈,，则22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+（当且仅那时b a =取“=”）．
二、拓展
1．一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+． 2．函数()()0,0b
f x ax a b x =+>>图象及性质
（1）函数()0)(>+
=b a x b ax x f 、图象如右图所示： （2）函数()0)(>+=b a x b
ax x f 、性质：
①值域：()22,ab ab,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣；
②单调递增区间：,,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-
+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝
⎦⎣⎭；单调递加区间：0,
,,0b b a a ⎛⎤⎡⎫- ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．
注：
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的
最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”；
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；
（3）均值定理在求最值、比较年夜小、求变量的取值规模、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、基本类型
对称性：
“1”的代换：
四、利用基本不等式求最值经常使用技巧
技巧一：凑项
已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最年夜值． 技巧二：凑系数
那时04x <<，求()82y x x =-的最年夜值．
技巧三： 别离
求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域．
技巧四：换元
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab
的最小值． 技巧五：整体代换
已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值．
技巧六：取平方
已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值．
技巧七：构造
要求一个目标函数),(y x f 的最值，我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得),(y x f 的最值．
已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为
技巧八：添加参数
若已知0,,>c b a ，则bc ab c b a 2222+++的最小值为．。