专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

②0,sin 0,cos 02x x x π<<>>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。

242sin cos y x x =⋅222sin sin cos x x x =⋅⋅2221(sin sin 2cos )2x x x =⋅⋅22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos xx =(0)2x π<<tan x ⇒=x arc= “=”号成立，故评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。

解法一：（单调性法）由函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4()f x x x=+是减函数。

证明：任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则12121244()()()()f x f x x x x x -=-+-211212()4x x x x x x -=-+⋅1212124()x x x x x x -=-⋅，∵1201x x <<≤，∴12121240,0x x x x x x --<<，则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>， 即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数。

故当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x <≤，则有4()f x x x =+24=+， 易知当01x <≤时，0μ=且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数， 即4()f x x x =+在(0,1]上是减函数，当1x =时，4()f x x x=+在(0,1]上有最小值5。

解法三：（拆分法）4()f x x x=+)10(≤<x 13()x x x =++31≥5=，当且仅当1x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

类型Ⅳ：条件最值问题。

例4、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。

解法一：（利用均值不等式）2x y +8116()(2)10x y x y xyy x =++=++1018≥+=, 当且仅当81116x y x y yx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）由811x y +=得8x y x =-，由00088xy x x x >⇒>>⇒>-又，则2x y +22(8)1616162(8)108888x x x x x x x x x x -+=+=+=++=-++----1018≥=。

当且仅当1688x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法三：（三角换元法）令228sin 1cos x x x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则：22822sin cos x y x x+=+2222228csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：812()(2)8x y x y x y +=++≥=。

原因就是等号成立的条件不一致。

类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。

解法一：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-≥13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

又23()2x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或， 当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞。

解法二：由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++⇒-=+知1x ≠，则：31x y x +=-，由30011x y x x +>⇒>⇒>-， 则：2233(1)5(1)44(1)51111x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=⋅===-++----59≥=， 当且仅当41(0)31x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+=+=++=-++≥=----，当且仅当41(0)31x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。

四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数()()y x x x=++49的最值。

错解：()()y x x x x x x=++=++4913362=++≥+⋅=133********x x x x 当且仅当x x=36即x =±6时取等号。

所以当x =±6时，y 的最小值为25，此函数没有最大值。

分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。

因为函数()()y x x x=++49的定义域为()()-∞+∞，，00 ，所以须对x 的正负加以分类讨论。

正解：1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y 当且仅当x x=36即6=x 时取等号。

所以当x =6时，y min =25 2）当x <0时，->->x x0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y 当且仅当-=-x x36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121. 例2. 当x >0时，求y x x=+492的最小值。

错解：因为x y x x x x x>=+≥⋅=049249622，所以当且仅当492x x =即x =943时，y xmin ==62183。

分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x 与92x 的积不是定值，导致错误。

正解：因为x y x x x x x x x x>=+=++≥⋅⋅=049229322933622233，当且仅当292x x=，即x =3623时等号成立，所以当x =3623时，y min =3363。

例3. 求y x x x R =++∈2254()的最小值。

错解：因为y x x x x x x =++=+++≥+⋅+=2222225441424142，所以y min =2分析：忽视了取最小值时须x x 22414+=+成立的条件，而此式化解得x 23=-，无解，所以原函数y 取不到最小值2。

正解：令()t x t =+≥242，则y t tt =+≥12()又因为t ≥1时，y t t =+1是递增的。

所以当t =2，即x =0时，y min =52。

例4.已知+∈R y x ,且141=+yx ，求y x u +=的最小值. 错解：44411≥⇒≥+=xy xyy x ,82≥≥+=∴xy y x u ,u ∴的最小值为8. 分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为yx 41=和y x =，而这两个式子不能同时成立，故取不到最小值8. 正解：94545)41)((=+≥++=++=xyy x y x y x u 当且仅当xyy x =4即6,3==y x 时等号成立. u ∴的最小值为9. 综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。