2008年（辽宁卷）数学（文科考生使用）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =-≤，则M N = （ ） A ．∅B ．{}3x x -≥C ．{}1x x ≥D ．{}1x x <2．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ ）A ．(k ∈B ． (k ∈C ．()k ∈--+ ∞，∞D ．()k ∈--+ ∞，∞4．已知01a <<，log log a a x =+1log 52a y =，log log a az =，则（ ） A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >>5．已知四边形A B C D 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ ）A ．722⎛⎫⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．(32)， D ．(13)，6．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．348．将函数21xy =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象，则（ ）A ．(11)=--，aB ．(11)=-，aC ．(11)=，aD ．(11)=-，a9．已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．4-10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种11．已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．在正方体1111ABC D A B C D -中，E F ，分别为棱1A A ，1C C 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，E F ，C D 都相交的直线（ ） A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数21()x y e x +=-<<+∞∞的反函数是 ．14．在体积为的球的表面上有A 、B ，C 三点，AB =1，BC，A ，C 两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为_________．15．6321(1)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．16．设02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 在A B C △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=．（Ⅰ）若A B C △，求a b ，；（Ⅱ）若sin 2sin B A =，求A B C △的面积． 18．（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； （Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率； （ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率． 19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体A B C D A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥A D '，截面PQGH ∥A D '．（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值； （Ⅲ）若12b =，求D E '与平面PQEF 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）在数列||n a ，||n b 是各项均为正数的等比数列，设()n n nb c n a =∈*N ．（Ⅰ）数列||n c 是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列|ln |n a ，|ln |n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若12a =，21n nS n T n =+，求数列||n c 的前n 项和． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时O A ⊥O B ？此时A B 的值是多少？22．（本小题满分14分）设函数322()31()f x ax bx a x a b =+-+∈R ，在1x x =，2x x =处取得极值，且122x x -=．（Ⅰ）若1a =，求b 的值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求b 的取值范围．A BCDE FPQ H A ' B 'C 'D ' G2008年（辽宁卷）数学文科参考答案和评分参考．1．D 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．A9．B 10．B11．D12．D ． 13．1(ln 1)(0)2y x x =-> 14．3215．351617．本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）由余弦定理得，224a b ab +-=， 又因为A B C △1sin 2ab C =4ab =．···························· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =．······················································ 6分（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为2b a =， ································································· 8分 联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以A B C △的面积1sin 23S ab C ==．·······························································12分18．本小题主要考查频率、概率等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3． ························· 4分 （Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，故所求的概率为（ⅰ）4110.70.7599P =-=． ············································································· 8分（ⅱ）334240.50.30.30.0621P C =⨯⨯+=． ·······················································12分19．本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．解法一：（Ⅰ）证明：在正方体中，AD A D ''⊥，AD AB '⊥， 又由已知可得PF A D '∥，PH AD '∥，PQ AB ∥，所以PH PF ⊥，PH PQ ⊥， 所以PH ⊥平面PQEF ．所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直．·································································· 4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PF PH '==，，又截面PQEF 和截面PQGH 都是矩形，且PQ =1，所以截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是)P A P Q '+⨯=····································································· 8分 （Ⅲ）解：设A D '交P F 于点N ，连结E N ， 因为AD '⊥平面PQEF ，所以D E N '∠为D E '与平面PQEF 所成的角． 因为12b =，所以P Q E F ，，，分别为A A '，B B '，B C ，A D 的中点．可知4D N '=，32D E '=．所以4sin 322D EN '==∠． ················································································12分解法二：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D －xyz ．由已知得1D F b =-，故(100)A ，，，(101)A '，，，(000)D ，，，(001)D '，，，(10)P b ，，，(11)Q b ，，，(110)E b -，，， (100)F b -，，，(11)G b ，，，(01)H b ，，．（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得(010)(0)PQ PF b b ==-- ，，，，，， (101)P H b b =--，，，(101)(101)AD A D ''=-=-- ，，，，，．因为00A D P Q A D P F ''== ，，所以AD '是平面PQEF 的法向量． 因为00A D PQ A D PH ''== ，，所以A D ' 是平面PQGH 的法向量． 因为0AD A D ''= ，所以A D AD ''⊥ ，所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直． ···································································· 4分（Ⅱ）证明：因为(010)E F =- ，，，所以EF PQ EF PQ ∥，=，又PF PQ ⊥，所以PQEFA BCDEFP Q HA 'B 'C 'D 'GN为矩形，同理PQGH 为矩形．在所建立的坐标系中可求得)PH b =-，PF =，所以PH PF +=1PQ =，所以截面PQEF 和截面PQGH············································· 8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知(101)AD '=-，，是平面PQEF 的法向量．由P 为A A '中点可知，Q E F ，，分别为B B '，B C ，A D 的中点．所以1102E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1112D E ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭ ，，，因此D E '与平面PQEF 所成角的正弦值等于|cos |2AD D E ''<>=，． ··························································································12分20．本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）n c 是等比数列． ·························································································· 2分 证明：设n a 的公比为11(0)q q >，n b 的公比为22(0)q q >，则11121110n n n n n nn n n n c b a b a qc a b b a q +++++===≠ ，故n c 为等比数列．··········································· 5分 （Ⅱ）数列ln n a 和ln n b 分别是公差为1ln q 和2ln q 的等差数列．由条件得1112(1)ln ln 22(1)21ln ln 2n n n a q n n n n b q -+=-++，即11122ln (1)ln 2ln (1)ln 21a n q nb n q n +-=+-+． ···················································································· 7分故对1n =，2，…，212111211(2ln ln )(4ln ln 2ln ln )(2ln ln )0q q n a q b q n a q -+--++-=．于是121112112ln ln 04ln ln 2ln ln 02ln ln 0.q q a q b q a q -=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩，，将12a =代入得14q =，216q =，18b =． ································································10分从而有11816424n nn n c --== ．所以数列n c 的前n 项和为 24444(41)3nn+++=-…． ·······································12分 21．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0-，，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214yx +=． ·················································································· 4分 （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214 1.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，．······································································· 6分OA OB ⊥，即12120x x y y +=． 而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222121222223324114444kkk x x y y k k k k -++=---+=++++．所以12k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥． ······················································· 8分当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．AB ==而22212112()()4x x x x x x -=+-23224434134171717⨯⨯=+⨯=，所以17AB = ····································································································12分22．本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分解：22()323f x ax bx a '=+-．① ··············································································· 2分 （Ⅰ）当1a =时， 2()323f x x bx '=+-；由题意知12x x ，为方程23230x bx +-=的两根，所以123x x -=由122x x -=，得0b =． ··························································································· 4分 从而2()31f x x x =-+，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-．当(11)x ∈-，时，()0f x '<；当(1)(1)x ∈--+ ∞，，∞时，()0f x '>．故()f x 在(11)-，单调递减，在(1)--∞，，(1)+，∞单调递增．···································· 6分 （Ⅱ）由①式及题意知12x x ，为方程223230x bx a +-=的两根，所以123x x a-=．从而221229(1)x x b a a -=⇔=-，由上式及题设知01a <≤． ························································································· 8分 考虑23()99g a a a =-，22()1827273g a a a a a ⎛⎫'=-=--⎪⎝⎭． ········································································10分 故()g a 在203⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增，在213⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，从而()g a 在(]01，的极大值为2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()g a 在(]01，上只有一个极值，所以2433g ⎛⎫= ⎪⎝⎭为()g a 在(]01，上的最大值，且最小值为(1)0g =．所以2403b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，即b 的取值范围为33⎡-⎢⎣⎦． ···············································14分。