2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A 卷) 数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R ，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛210x x +=｝关系的韦恩（Venn ）图是2．下列n 的取值中，使i n =1(i 是虚数单位)的是A ．n=2B ．n=3C ．n=4D ．n=5 3．已知平面向量a =(x ，1)，b =(—x ，x 2 )，则向量a+bA ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 4．若函数()y f x ＝是函数()x0y a ≠＝a ＞，且a 1的反函数，且(2)1f ＝，则()f x ＝A ．2log xB ．12xC ． 12log x D ．22x - 5．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a •=，2a ＝1，则1a ＝A ．12B 2C ．2 D ．26．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④7．已知ABC ∆中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a ，b ，c 。
若62a ＝c ＝＋，且A ∠＝75，则b ＝A ．2B ．423＋C ． 423－D ．62－ 8．函数()(3)xf x x e =-的单调递增区间是A ．(),2-∞B ．（0，3）C ．（1，4）D ．()2,+∞ 9．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 10．广州2010年亚运会火炬传递在A ，B ，C ，D ，E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。
若以A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是A ．20.6B ．21C ．22D ．23二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，(一)必做题(11~13题) 11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s = 。
(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号，，196~200号)。
若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。
若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。
13．以点（2，－1）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是_______________________。
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线12,23.{x t y t =-=+（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =________。
15．(几何证明选讲选做题)如图3，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且4AB =，o30ACB ∠=，则圆O 的面积等于__________________。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）已知向量()sin 2a θ＝,－与()1cos b θ＝，互相垂直，其中02πθ⎛⎫⎪⎝⎭＝，.（1） 求sin θ和cos θ的值；（2） 若()5cos 5cos ,02πθϕϕϕ－＝3＜＜，求cos ϕ的值。
17．（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。
墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -。
图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线BD ⊥平面PEG .18．（本小题满分13分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图7。
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率。
19．（本小题满分14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12。
圆k C ：2224210()x y ky y k R ++--=∈的圆心为点k A 。
（1）求椭圆G 的方程； （2）求∆12k A F F 面积；（3）问是否存在圆k C 包围椭圆G ？请说明理由。
20．（本小题满分14分）已知点1(1,)3是函数()(0,1)xf x a a a =>≠且的图像上一点。
等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -。
数列{}(0)n n b b >的首项为c ，且前n 项和n s 满足11(2)n n n n s s s s n ---=+≥（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，问满足n T ＞10002009的最小正整数n 是多少？ 21．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠。
设函数()()g x f x x=。
（1）若曲线()y f x =上的点p 到点(0,2)Q 2，求m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科） 参考答案一、选择题1-10BCCAB DADAB1、【解析】由N= { x |x 2+x=0}{1,0}-得N M ⊂,选B. 2、【解析】因为41i =,故选C.3、【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.4、【解析】函数1xy a a a =≠（>0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =,所以,2a =,故2()log f x x =,选A.5、【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q=,因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以2q =故2122a a q ===,选B 6、【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D7、【解析】026sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+= 由a =c=26+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得261sin 2sin 226ab B A+=⋅==+,故选A8、【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x ex e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 9、【解析】因为22cos ()1cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭为奇函数,22T ππ==,所以选A.10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:①A B C D E →→→→,②A B D C E →→→→,③A C B D E →→→→,④A C DB E →→→→,⑤A D BC E →→→→,⑥AD C BE →→→→,其中, 路线③A C B D E →→→→的距离最短, 最短路线距离等于496221+++=, 故选B. 二、填空题11、【答案】6i ≤,126a a a +++【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填6i ≤，输出的s=126a a a +++.12、【答案】37, 20【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为2000.5100⨯=,则应抽取的人数为4010020200⨯=人. 13、【解析】将直线6x y +=化为60x y +-=,圆的半径112r ==+,所以圆的方程为2225(2)(1)2x y -++= 14、【答案】6- 【解析】将1223x t y t=-⎧⎨=+⎩化为普通方程为3722y x =-+,斜率132k =-,当0k ≠时,直线41x ky +=的斜率24k k =-,由123412k k k ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得6k =-; 当0k =时,直线3722y x =-+与直线41x =不垂直. 综上可知,6k =-. 15、【答案】16π【解析】连结AO,OB,因为 30ACB ∠=,所以60AOB ∠=,AOB ∆为等边三角形,故圆O 的半径4r OA AB ===,圆O 的面积216S r ππ==. 三、解答题16、【解析】（１）a b ⊥,sin 2cos 0a b θθ∴=-=,即sin 2cos θθ=又∵2sin cos 1θθ+=, ∴224cos cos 1θθ+=,即21cos 5=,∴24sin 5θ=又 25(0,)sin 25πθθ∈∴=,5cos 5θ= (2) ∵5cos()5(cos cos sin sin )θϕθϕθϕ-=+5cos 25sin ϕϕ=+35cos θ=cos sin ϕϕ∴= ,222cos sin 1cos ϕϕϕ∴==- ,即21cos 2ϕ=又 <<ϕ02π, ∴2cos 2ϕ=17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --== 221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+= ()2cm （３）如图,连结EG,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO.由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG 又BD HF BD ∴⊥平面PEG ；18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179之间，而乙班身高集中于170180之间。