2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析广东佛山南海区南海中学 钱耀周一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A ={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B ={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C ={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A.A ⊆BB.B ⊆CC.A ∩B =CD.B ∪C =A 【解析】送分题呀!答案为D.2.已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是B. (1,C.(1,3)D.(1,5) 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z ,选B.3.已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝（ ）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)-- 【解析】排除法:横坐标为2(6)4+-=-,选B.4.记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）A 、2B 、3C 、6D 、7 【解析】4224123S S S d d --==⇒=,选B.5.已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224x f x x x x x x -=+===,选D.6.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y -+= D 、10x y --=【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分 别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则 该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.8. 命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是（ ）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 【解析】考查逆否命题,易得答案A.9、设a R ∈，若函数xy e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ） A 、1a <- B 、1a >- C 、1a e <- D 、1a e>-【解析】题意即0xe a +=有大于0的实根,数形结合令12,xy e y a ==-,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得11a a ->⇒<-,选A.10、设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ） A 、0b a -> B 、330a b +< C 、220a b -< D 、0b a +>【解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D. 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11-13题）11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查 了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 .【解析】20(0.06510)13⨯⨯=,故答案为13.12.若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大 值是________。

【解析】画出可行域,利用角点法可得答案70.13.阅读图4的程序框图，若输入m =4,n =3,则输出a =_______,i =________。

（注：框图中的赋值符号“＝”，也可以写成“←”或“：＝”） 【解析】要结束程序的运算，就必须通过n 整除a 的条件运算， 而同时m 也整除a ，那么a 的最小值应为m 和n 的最小公倍 数12，即此时有3i =。

（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 【解析】我们通过联立解方程组cos 3(0,0)4cos 2ρθπρθρθ=⎧≥≤<⎨=⎩解得6ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即两曲线的交点为)6π.15.（几何证明选讲选做题）已知P A 是圆O 的切点，切点为A ，P A ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R =________. 【解析】依题意，我们知道PBA PAC ∆∆ ,由相似三角形的性质我们有2PA PBR AB=,即2221PA AB R PB ∙===⨯三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。

（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值。

【解析】（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312c o s ,c o s 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴==，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。

17.（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x Z +≥∈()21080048f x x'=-, 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

18.（本小题满分14分）如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60,45,~ABD BDC ADP BAD ∠=∠=∆∆。

（1）求线段PD 的长；（2）若PC =，求三棱锥P-ABC 的体积。

【解析】（1） BD 是圆的直径 ∴ 90BAD ∠=又 ~A D P B A D, ∴AD DP BA AD =,()()22234sin 60431sin 3022R BD ADDP R BA BD R ⨯====⨯; (2 ) 在Rt BCD中，cos 45CD BD ==222229211P D C D R R R P C +=+== ∴P D C D⊥ 又90PDA ∠=∴PD ⊥底面ABCD()21121s i n 6045222ABCS AB BC R R =+==⎝⎭三棱锥P ABC -的体积为23111133344P ABC ABC V S PD R R R -===. 19.（本小题满分13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：（1） 求x 的值；（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ （3） 已知y ≥245,z ≥245,求初三年级中女生比男生多的概率. 【解析】（1）0.192000x= ∴ 380x = （2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个∴ 5()11P A =20.（本小题满分14分）设0b >，椭圆方程为222212x y b b +=，抛物线方程为28()x y b =-．如图6所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．【解析】（1）由28()x y b =-得218y x b =+， 当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x =，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ，2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；（2） 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个， 同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个。