12.9 利用定积分求曲线围成的面积
武汉外国语学校汪家硕
一．复习回顾：
当f(x )0时，由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。

2.牛顿—莱布尼茨公式
定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x) = f (x)，则
．曲线围成的面积
1.设f和g是区间［a,b］上的连续函数且对任意的x［a,b］有f(x )g(x)，则直线
x=a
和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为：
b b b
f (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a
例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。

解：先求出P点坐标。

y= x2x = 0
解方程组
y = x x=0
y= 2x x = 2
P点的坐标是(2,4) 。

2
所求的面积= 2x - x2dx = x2
0=4-8=4
b
1.定积分的几何意义：当f(x )0时，积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、
a
3 33
例3 例2．计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ，以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。

f (x )-
g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx a
c
1 c
2 c 3
例3：求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。

解：当 f (x )= g (x )时图像的交点，
即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0
x = 0或 1
解：所求面积=
-1
1 (x
2 +1)dx = 3-2x 2dx =
-1 3x -2x 3 3-1 14 3
2.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结
考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ]，阴影部分面积可以表示为：
例 4 ：求阴影部分的面
积。

例4 练习：。