4
3 8 2 4
128 4 16 4 16 0 8 36 3 3 3
9
用微元法求面积
d A f ( y) g( y)dy
dA
A c d A

d
f ( y ) g( y )dy c
d
求面积前需要做的准备工作有:
10
(1) 最好能作出草图,弄清边界曲线的方程; (2) 根据所选方法确定积分变量及总量微元;
(3) 确定积分区间,为此常需要求出边界曲线
交点的坐标. (如图)
11
例 2 再求由
1 y x和 2 2 y 8 x
2

4
(8, 0)
所围图形的 面积.(如图)
12
解 dA f ( y) g( y)dx [(8 y ) 2 y]dy
亦即
设F(x)可微

b
a
f ( x )dx dF( x )
a
4
b
第二个问题：用定积分解决问题的关键 ——在找出整体量的微元： d F ( x ).
微元法解决问题的步骤
1. 写出实际问题整体改变量的微元表达式：
d F ( x ) f ( x )dx (通常f ( x ) F ( x ))
2. 用定积分求出整体改变量：
F (b) F (a ) dF( x ) f ( x )dx.
a a
5
b
b
二、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积（Area）
用微元法求面积
d A f ( x ) g( x )dx A dA
a b
f ( x ) g( x )dx
1.5 1 0.5
作业
0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5 -0.5 -1 -1.5
P.216-习题3.4
(A)-N.1( 单数除去 (7) )
22
dA2 f ( x ) g( x )dx [ 8 x ( 8 x )]dx
8
8 1 A [ x 8 x ]dx 2 8 x dx 8 2 4
4
1 2 2 4 x 3 (8 x )
3 2
2 2 (8 x ) 8 3
a
2

2

0
( 2 cos
/2
0
2

2
4
) d
2
令t / 2
2
4a 2
31 3 cos t d t 8a a2 4 2 2 2
2
例5 求双纽线： 4 sin2 所围封闭 图形的面积。
18
解 (当你不会作封闭曲线的图形时，如何通过
分析求出面积？)
b a
6
例 1 求由 1 y x和 2 2 y 8 x 所围图形的
面积.(如图)
8
4
dA2
dA1
思考:求面积前需要做那些准备工作?
7
解 从图中可以明显看出所求面积分为两部 分: R1和R2 ,两块面积的微元分别为：
1 dA1 f ( x ) g( x )dx [ x ( 8 x )]dx 2
o
r
1 1 dA (弧 长) (半 径) [r ( )d ] r ( ) 2 2 1 2 A dA r ( )d 2
解
心脏线的对称
2 1
y 2(1 cos )
1 2 3 4
性是明显的，因 此

-1 -2
17
1 2 2 2 A 2 r ( )d a (1 cos ) d 0 2 0
2
A [8 y 2 2 y]dy
4
2
2 1 3 2 8y y y 3 4
那 种 方 法 好
8 64 Байду номын сангаас 16 4 32 16 36 3 3
？
13
例3
x cos t 3 求星形线所围面积， y sin t
20
si n2(

1 因此只要在 0 至 上积分 ,就得到 面积， 4 4 1 2 4 全面积 A 4 d 0 2
2 4 4 sin 2 d 4 cos 2
0
) sin( 2 ) cos 2 , 2 4



4
0
4
见图
21
2 4 sin2
分析 使用公式：A
2

解这个问题的难点在确定积分限。注意到
1 2 dA r ( )d 2
4 sin2 0, 又是周期函数 , 对于X 2 ,
变化过程中， 每两个零点曲线封闭一次.
19
故有 0 2 或 2 2 3 ， 3 进而得 0 或 ， 2 2 由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重 复出现在第一、三象限,且图形关于原点对 又 关 于 y x (即 ) 对 称 ， 因 为 称， 4
4 2
2
例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线C：
r r ( ) ( ) 所围的面积,并求心脏
线r a(1 cos ), (a 0) 所围图形的面积.
用微元法先推导—

d
dA
d
r ( )

极坐标系下求面积 的表达式

r r ( )
3 3
A 4 ydx 4 sin t d cos t
3 3
1
0
0
4 sin t 3cos t ( sin t )d t
3 2
0
2
12
2 0
3 31 5 31 sin t (1 sin t ) d t 12 8 4 2 6 4 2 2
§4 定积分的应用
The Application
of Definite Integrals
一.微元法
二.几何应用
1
用定积分解决实际问题，应先明确
两个问题：
第一，定积分能解决哪类问题？(共性)
第二，用定积分解决这类问题方法的关
键是什么？
2
一、微元法
第一个问题：用定积分所解决问题的共性： 1. 都是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量， 如：面积、体积、曲线弧长；作功、引 力、总成本、总利润等等； 2. 这个在[a,b]上分布的整体量等于其所有
3
子区间局部量的总和(可和)，具体地讲：

b a
f ( x )dx F (b) F (a )
[ xk 1 , xk ] F ( x )
k 1
n
记作 n

k 1
k
F ( x)
因 k F ( x) F ( x)xk o(xk )
f ( x )dx d F ( x )
3
1
0.5
它的参数方程为：
x cos 3 t 3 y sin t (0 t 2 )
2 3 2 3
-1 -0.5
y
dx
-0.5
0.5
1
直角坐标方程 ( x y 1)
-1
14
解 由对称性只需求出(1/4 )面积即可。
dA ydx sin t d (cos t )