专题24 特殊平行四边形的存在性破解策略在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．经过点A 的直线l ：y ＝ax ＋a 与抛物线的另一交点为C ，设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，那么以点A ，C ，P ，Q 为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由．解：以点A ，C ，P ，Q 为都顶点的四边形能成为矩形．令ax 2－2a －3a ＝ax ＋a ．解得x 1＝－1，x 2＝4， 所以点A 的坐标为（－1，0），C 的坐标为（4，5a ）．因为y ＝ax 2－2ax －3a ，所以抛物线的对称轴为x ＝1．则x P ＝1． ①若AC 是矩形的一条边，如图，则x A ＋x P ＝x C ＋x Q ，可得x Q ＝－4，从而点Q 坐标为（－4，21a ）． 同样y A ＋y P ＝y C ＋y Q ，可得y P ＝26a ，从而点P 坐标为（1，26a ）．因为AC ＝PQ ，所以有22＋（26a ）2＝82＋（16a ）2， 解得)(77,7721舍去=-=a a ，此时点P 的坐标为（1，7726-）②若AC 是矩形的一条对角线，如图．则x A ＋x C ＝x P ＋x Q ，可得x Q ＝2，从而点Q 坐标为（2，－3a ）． 同样y A ＋y C ＝y P ＋y Q ，可得y P ＝8a ，从而点P 坐标为（1，8a ）．因为AC ＝PQ ，所以有52＋（5a ）2＝12＋（11a ）2， 算得)(21,2143舍=-=a a ，所以此时点P 的坐标为（1，－4） 综上可得，以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为（1，7726-）或（1，－4）．例2：如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的中心与原点重合，C ，D 两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒．（1）菱形ABCD 的边长是_____，面积是_____，高BE 的长是_____;（2）若点P 的速度为每秒1个单位．点Q 的速度为每秒k 个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t ＝4秒时的情形，并求出k 的值．解：（1）5，24，4．8．（2）要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，翻折前后两个图形是全等的，所以要满足四边形是菱形只需△APQ 为等腰三角形即可．当t ＝4时，AP ＝4．①如图，当点Q 在线段BC 上时，PQ ≥BE ＞AP ，同理，AQ ＞AP ，所以只存在QA ＝QP 的等腰三角形．过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AC 于点F ，则AH ＝PH ＝21AP ＝2 易证：△AFH ∽△CFQ ∽△ADO ， 所以43===AODO CQFQ AHFH可得522,1033,23===CQ FQ FH从而k ＝10114=CQ ②当Q 在BA 上时，有两种情况的等腰三角形存在：（i ）如图1，当AP ＝AQ 时，此时点P ，Q 关于x 轴对称，BQ ＝PD ＝1 所以，k ＝234=+BQ CB （ⅱ）如图3，当PA ＝PQ 时，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．易证△AHP ∽△AEB ，所以AH AP AE AB=，其中AE ＝227.5AB BE -= 所以AH ＝2825，AQ ＝2AH ＝5625，所以k ＝97450CB BQ +=． （ⅲ）由①可得，AP 的垂直平分线与BC 相交，所以点Q 在线段AB 上时，不存在AQ ＝PQ 这种情况．综上所得，满足条件的k 值为32，1110，9750．y xP QHE A CB DO例3 如图，二次函数212y x x c =-+的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，顶点M 关于x 轴的对称点是M ′．问：是否存在抛物线212y x x c =-+使得四边形AMBM ′为正方形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．xyBM′MAO解：存在易得AMBM ’是菱彤，所以当AB ＝MM ′时，四边彤AMBM ′是正方形 设点A 的坐标为（x 1，0），B 的坐标为（x 2，0）．令2102x x c -+=所以x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝2c 所以AB ＝()212124x x x x +-＝48.c -点M 的纵坐标为2421.42ac b c a --=若四边形AMBM ’为正方形，则有214822c c --=⨯．解得1213,.22c c ==-又因为已知抛物线与x 轴有两个交点， 所以()2214140.2b ac c ∆=-=--⨯>解得c ＜12， 所以c 的值为3.2-．所以存在抛物线21322y x x =--，使得四边彤AMBM '为正方形． 进阶训练1．已知抛物线C 1： y ＝－2x 2＋8x －6与抛物线C 关于原点对称，抛物线C 2与x 轴分别交于点A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为M ，抛物线C 2与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）顶点为N ． （1）求抛物线C 2的表达式；（2）若抛物线C 1与抛物线C 2同时以每秒1 个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为A'，B'，C'，D'，M'，N'，当点A'与点D'重合时运动停止，在运动过程中，四边形B'，M'，C'，N'能否形成矩形？ 若能，求出此时运动时间t （秒）的值；若不能，请说明理由．解：（1）抛物线C 2的表达式为2286y x x =++ （2）能．1＝[提示]（2）如图，由轴对称的性质可得四边形C 'N 'B 'M '为平行四边形．所以当∠B 'M 'C '＝90 或B 'C '＝M 'N '时．四边形为矩形，由此可列方程，从面求得t ．2．如图，抛物线22725()326y x =--与x 轴的右交点为A ，与y 轴的交点为B ，设E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，若四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形． （1）该四边形的面积为24时，判断平行四边形OEAF 是否为菱形；（2）是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？ 若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．xyAFEBO解：（1）当点E 的坐标为（3，－4）时，平行四边形OAEF 是菱形;（2）不存在，理由：若平行四边形OEAF 是正方形，则OA ⊥EF 且OA ＝EF ．此时的点E 不在抛物线上．3．如图，抛物线经过原点O 与x 轴上一点A （4，0），抛物线的顶点为E ，它的对称轴x 轴交于点D ，直线y ＝－2x －1经过抛物线上一点B （－2，m ），与抛物线的对称轴交于点F ． （1）求抛物线的表达式；（2）Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度均速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q ，A ，E ， M 四点顶点的四边形是菱形？ 若能，请直接写出点M 的运动时间；若不能，请说明理由．xyDFBE A O解：（1）抛物线的表达式为214y x x =-； （2）能，t 的值为45-，6，45+或132． [提示]（2）如图，点M 的运动过程中，以Q ，A ，E ，M 为顶点的四边形是菱形有以下四种情况，根据菱形的性质即可求得对应的t 的值． xyQ 1DFBEA OxQ 2A E BFDOxy Q 3A E BFDOxyQ 4A E BFDO4．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A （－1，0）两点，且与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E ，连结B D ．（1）P 是线段BD 上一点，当PE ＝PC 时，请求出点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，G 为抛物线上一动点，M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，当以F ，M ，N ，G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．xyCPDBEAO解：（1）点P 的坐标为（2，2），（2）点M 的坐标为1211213133130000.22⎛⎫⎛⎫⎫⎫-+ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，[提示]（1）易求得抛物线的l 表达式为223y x x =-++．所以C （0，3），D （1，4），E （1，0），从而直线BD 的表达式为y ＝－2x ＋6．设点P 的坐标为（t ，－2t ＋6）．若PE ＝P C ．则有t 2＋（－2t ＋6－3）()()22126t t =-+-+，解得t ＝2，从而得到点P 的坐标为（2．2）．（2）可设点M 的坐标为（m ，0），则点G 的坐标为（m ，223m m -++）．而以F ，M ，N ，G为顶点的四边形是正方形．所以MF ＝MG ，从而2223m m m -=-++，解得m =，或m =M 的坐标．。