阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分， 就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。
二、保守系统的拉格朗日方程 在上述条件下，如果质点系所受的主动力都是 17.2 有势力，就得到保守系统的拉格朗日方程
( j 1,2, , k ) 拉 格 朗 式中 L T V 为质点系动能和势能之差，称为拉格 日 朗日函数。 这就是保守系统的拉格朗日方程。 三、应用拉格朗日方程解题的步骤 方 1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系 程
第十七章 拉格朗日方程
• • 动力学普遍方程 拉格朗日方程
引
言
本章是将达朗伯原理和虚位移原理结合起来 推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学 普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的，而 拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动， 两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题， 它是用分析的方法解决动力学问题的出发点，因 此它是分析力学的基础。对于解决复杂的非自由 质点系的动力学问题，应用拉格朗日方程往往要 比用动力学普遍方程简便得多。
17.1
2(2Q2 Q1 ) 动 s2 0 a2 4Q Q g 2 1 力 例2 有两个半径皆为r的轮子，中心用连杆相连， 学 在倾角为 的斜面上作纯滚动，如图。设轮重皆为P， 普 对轮心的转动惯量皆为J，连杆重量为Q，求连杆运 M g g 遍 动的加速度。 P g 解：以系统为研究对象， 方 Q a g M P g 系统具有理想约束，系统所受 P 程 Q
例1 图示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着重为Q1 的重物，绳子绕过定滑轮后，挂着重为Q2的重物， 设滑轮和绳子的重量不计，求重为Q2的重物下降的 加速度。 g 解：以系统为研究对象，系统具 F2 Q 有理想约束，系统所受的主动力 1 a g g 2 s 2 g Q2 为 Q2 、 ，假想加上惯性力 F1 F2 、 。 F1 s 1 Q1 Q2 g g a 其中 F1 a1 F2 a2 1 g g Q1 给系统以虚位移s1和s2，由动力 学普遍方程，得 Q2 Q1 (Q2 a2 )s2 (Q1 a1 )s1 0 g g 1 1 由运动学关系 s1 s2 a1 a2 代入上式得 2 2
k st R m3 g 2R 即 k st 2m3 g
17.2
拉 格 朗 日 方 代入保守系统的拉格朗日方程 d ( L ) L 0 得 dt x x 程
2kx 0 (3m1 4m2 8m3 ) x
即为系统的运动微分方程。
以系统平衡位置为弹力及重物C的零势能位置， 则系统的势能为 k AR B R k x 2 2 V m3 gx ( st ) st 2 2 x C 1 2 利用前面的关系，整理得 V kx 8 则拉格朗日函数为 1 1 2 2 kx L T V (3m1 4m2 8m3 ) x 16 8
17.1
动 力 学 普 n g 遍 ( Fi N i Fi ) ri 0 i 1 方 设该质点受的是理想约束，则有 程 Ni ri 0 n g 故 ( Fi Fi ) ri 0
i 1
设由n个质点组成的质点系，由达朗伯原理知， 在质点系运动的任一瞬时，任一质点 i g M 上作用的主 动力 Fi ，约束反力 Ni 及其惯性力 Fi mi ai 三者构 成形式上的平衡力系，即 g Fi Ni Fi 0 (i 1,2, , n) 对该质点系应用虚位移原理，为此，取质点系 的任何一组虚位移 ri (i 1,2, , n) ，则得
A
M
O

r
R
朗 解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自 日 由度，取曲柄转角 为广义坐标。 方 由运动学关系知，动齿轮的角速度 与曲柄的角 程 速度 的关系为 rR r
则系统的动能为
17.2
拉 格 朗 日 方 程
1 1 Q 1P 1 1P 2 2 2 2 2 2 ( T (r R) (r R) r ) 2 3 g 2g 2 2g 1 2 (2Q 9 P)(r R) 2 12g A r M 给曲柄以虚位移 ，则对应的 O 广义力为 W M R Q M 求诸导数 T 1 (2Q 9 P)(r R) 2 6g d T 1 ( ) (2Q 9 P)(r R) 2 dt 6g T 0
B
2
4 a g 5ຫໍສະໝຸດ C mgg MB a
2
一、拉格朗日方程 设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束， 17.2 具有k个自由度，其位置可由k个广义坐标 q1 , q2 , , qk 来确定。则有
d T T 拉 ( ) Q j ( j 1,2, , k ) j 格 dt q q j n 朗 1 2 j 是广义坐标对 式中 T mi vi 为质点系的动能； q 日 i 1 2 方 时间的变化率，称为广义速度； Q j是对应广义坐标 程 q j 的广义力。 这就是拉格朗日方程，简称拉氏方程。它是由k个二
2 2 学 2 相互独立，要 由于虚位移 1、 普 使上式成立，则有 O 遍 g a 1 R 0 ( 2 ) 1 2 M 方 g a 1 2 R 2 0 (3) 程 由运动学关系，有
g A
1
A
mg 1 g FB
C
a R1 R 2 (4) 联立求解（2）（3）（4）式，得
1
O
g MA
A
1 mg g FB
则 yC R1 R 2 (1) 由动力学普遍方程得
g g MA 1 M B 2 (mg FBg )yC 0
17.1 将惯性力及（1）式代入上式，得 1 1 2 mR 1 1 mR 2 2 2 (mg ma ) R( 1 2 ) 0 2 动 2 整理得 力 (mgR maR 1 mR 2 ) (mgR maR 1 mR 2 ) 0 1 1 2 2
的主动力有它们的重力。假想 加上惯性力，如图。
a P g 其中 P a M J g r
g
1 a2 1 (Q2 2 Q1 ) g (Q2 4 Q1 )s2 0
P
Q Q a g
g

给连杆以平行斜面移动的虚位移 s ，则轮子有 s 相应的转动虚位移 ，根据动力学普遍方程 17.1 r
动 力 学 普 遍 方 程
(2P g Q g )s 2M g (2P Q) sin s 0 a J 即 (2 P Q)s 2 2 as (2 P Q) sin s 0 g r M g g s 0 P g 2 Q a g M (2P Q)r sin P g P a g 2 Q (2P Q)r 2 Jg
T d T 或 L L 拉 T d L ( ) ( ) 格 q j q j dt q j j dt q q j q j 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到k个二 日 阶常微分方程。由2 k个初始条件，解得运动方程。 方 程
例4 在水平面内运动的行星齿 轮机构如图。已知动齿轮半径为r， 17.2 重为P，可视为均质圆盘；曲柄OA 重Q，可视为均质杆；定齿轮半径 拉 为R。今在曲柄上作用一不变的力 偶，其矩为M，使机构运动。求曲 格 柄的运动方程。
17.2
拉 格 朗 日 方 程
例6 如图，均质圆轮的质量为m1，半径为R，在 水平面上只滚动不滑动。杆长L质量为 m2与轮在圆心 A铰接，试求系统的运动微分方程。 x 解：以系统为研究对象， R 系统具有两个自由度。取 x L x A 和 为广义坐标。 2 系统的动能为 C 1 3 x x 2 2 T ( m1 R )( ) 2 2 R 1 1 1 2 L2 2 L 2 x cos ( m2 L2 ) 2 m2 x 2 4 2 2 12 整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合 而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗 伯——拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如 下：在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系 上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系 所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。
17.1
动 力 学 普 遍 方 程
例3 均质圆柱体A和B质量均为 m ，半径均为R。圆柱A可绕固定 轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的 另一端绕在圆柱B上。求B下落时， 质心C点的加速度。摩擦不计。 解：以系统为研究对象，系统所 受的主动力有圆柱的重力。设两轮的 角加速度为 1 、 2 ，轮B质心的加速 度为 a 。假想加上惯性力，如图。
17.1
即
( Fi mi ai ) ri 0
n i 1
动 力 学 普 遍 方 程
将上式写成解析式，则有
( X
i 1
n
i
i ) xi (Yi mi i ) yi ( Z i mi i ) zi 0 mi x y z
s
P

17.1
动 B 力 2 C 学 mg y M a 普 遍 1 1 g g 方 其中 M A mR 21 FBg ma M B mR 2 2 2 2 程 此系统具有两个自由度，取轮A、轮B的转 1 角 2、 为广义坐标。给系统一组虚位移，如图。
C
g B
2
统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 j q j dt q