解：研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原点 均在初始位置。
M1-8
我们已知道系统动能和势能为
V
1 3
Ph
Q(h
s sin
r cos )
T
1 2
P
g
Q
x&2
3 4
Q g
s&2
Q g
x&s&cos
1 2
P
g
Q
x&2
3 4
M1-10
[例] 一均质圆柱体可绕其垂直中心轴自由
转动，圆柱表面刻有倾角为 的螺旋槽。
小球M自静止沿槽下滑，已知小球质量为 m1圆柱体质量为m2，半径为R， 试求：小球下降高度为h时，小球相对圆
柱体的速度，圆柱体的角速度。 解：系统受理想、完整、定常约束，
具有两个自由度。取广义坐标为, s ；
各坐标原点均在初Leabharlann 位置。当ssin =h ，得
2m12 sin2 m2 s&2 2gh 0
(2m1 m2 )
s&
(2m1 m2 )2gh
2m1 sin2 m2
& 2m1 cos
R
2gh
(2m1 m2 )(2m1 sin2 m2)
q&k
L qk
q&k
0
N k 1
d dt
L q&k
q&k
L q&k
q&&k
L qk
q&k
d dt
N
k 1
L q&k
q&k
N k 1
L q&k
q&&k
L qk
q&k
2
dT dt
dL dt
d dt
(2T
L)
0
积分上式，可得。
2T L C
T V C
M1-4
积分上式，可得。 T V C
ri
ri
(
q 1
,
q2, ...
qN
)
中不
显含t ，则
vi
r&i
N ri k1 qk
q&k
T
1 2
n
mivi
i1
vi
1 2
n
mi
i1
N k 1
ri qk
q&k
N l 1
ri ql
q&l
1 2
N
mklq&k q&l
k , l1
其中
mkl
n
mi
i1
ri qk
ri ql
是广义坐标的函数，称为广义质量
M1-2
很容易证明
N
k
1
T q&k
q&k
2T
注意势能 V 不含 q&i 项，可得
N
k 1
L q&k
q&k
N k 1
(T V q&k
)
q&k
2T
将方程
d dt
L q&k
L qk
0
两边乘
q&k 对k求和
N d
k1 dt
L q&k
q&k
L qk
q&k
0
M1-3
N d
k1 dt
L q&k
Px
Lx
Tx
P
Q g
x
Q g
scos
C2
t = 0时 x s 0 ，故上式中C2 = 0 ，可得
(P Q)x&Qs&cos 0
1 2
P
Q g
x&2
3Q 4g
s&2
Q g
x&s&cos
Q s sin
0
上两式即为系统的能量积分和循环积分。 第二式实际上是
系统的机械能守恒方程。 第一式实质上是系统的动量在x方向 守恒。
次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止 一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。
M1-7
[例] 楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重
Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆 柱体位于斜面最高点。 试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能 量积分与循环积分。
m2
)R2&
2m1s&R
cos
]
C1
T V C2
1 4
[2m1s&2
(2m1
m2 )R2&2
4m1s&R&cos ] m1gs sin
C2
当t =0时， & s& 0 代入上式中，得
C1 C2 0
(2m1 m2)R2& 2m1s&R cos 0
1 4
[2m1s&2
(2m1
m2 )R2&2
L
1 2
m1(s&2
R2&2
2s&R&cos
)
1 4
m2R2&2
m1gs
sin
L
1 4
[2m1s&2
(2m1
m2
)R2&2
4m1s&R&cos
]
m1gs
sin
由于拉格朗日函数L中不显含时间t，广义坐标，故为
系统循环坐标，故有循环积分和能量积分。
L& C1
T V C2
M1-13
L& C1
1 2
[(2m1
M1-11
小球的动能
T1
1 2
m1v12
1 2
m1[vr2
ve2
2vrve
cos(180
)]
1 2
m1(s&2
R2&2
2s&R&cos
)
圆柱体的动能
T2
1 2
J&2
1 4
m2 R2&2
系统的动能
T T1 T2
M1-12
系统的势能（取小球的起点为势能零点）：
V m1gssin
系统的拉格朗日函数为
上式是保守系统的机械能守恒定律，也称为保守系统的广义能 量守恒。也称为保守系统的拉格朗日方程的能量积分。
M1-5
二、循环积分
如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qk , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。
当 qk (k N ) 为系统的循环坐标时，必有
于是拉氏方程成为
L qk
0
d dt
(
L q&k
)
L qk
0
积分得：
L q&k
C
称为拉格朗日方程的循环积分
(k N )
M1-6
因L = T - V，而V中不显含 q&k ，故上式可写成
L q&k
q&k
(T
V )
T q&k
pk
C
pk称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量 积分。
保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一
Q g
s&2
Q g
x&s&cos
1 3
Ph
Q(h
s
sin
r
cos
)
C1
当t =0时， x s 0 ，x = s = 0 , 代入上式中，得
C1
1 3
Ph
Q(h
rcos
)
1 2
P
Q g
x&2
3Q 4g
s&2
Q g
x&s&cos
Q s sin
0
M1-9
由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环 坐标，故有循环积分：
4m1s&R&cos ] m1gs sin
0
化简，得
&
2m1 (2m1 m2
)R
s&cos
2m12 sin2 m2 s&2 2gs sin 0
(2m1 m2 )
M1-14
& 2m1 s&cos
(2m1 m2 )R
2m12 sin2 m2
(2m1 m2 )
s&2
2gs
sin
0
1-6 拉格朗日第二类方程的积分
拉格朗日第二类方程的求解需要对拉格朗日第二类方程进行 积分。
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的 首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简 化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环 积分。
M1-1
一、能量积分
设系统所受的约束为定常约束，则