二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，
方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）
需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨
<⎪⎩； （2）0a <时，()()0
f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，
可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()2
2212mx m x x mx -++=--，另一根为
2m ，由2
13m
<<得
2
23
m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数
的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程
24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即
()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或3
2m =，当
1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =
时，根()33,0x =∉-，故3
2
m =不满足题意；综上分析，得出15
314
m -<<-或1m =-
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -<<即为所求的范围。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

解：由
()()0102200m f ∆>⎧⎪
-+⎪->⎨
⎪>⎪⎩
⇒ ()2
18010m m m m ⎧+->⎪>-⎨
⎪>⎩ ⇒
330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪
⎩⇒ 03
m <<-3m >+
例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1
22
m -<<即为所求的范围。

例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 1
3
m <-即为所求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，
计算量稍大）
2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨
设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
对于开口向下的情况，讨论类似。

其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若[]n m a b ,2∈-
，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧
⎪⎭⎫
⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a
b
,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,max max =，()()(){}n f m f x f ,min min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习
二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数()()2
220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

解：对称轴[]012,3x =∉，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。

（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min
32f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 32522a b b ++=⎧⎨+=⎩ ⇒ 10a b =⎧⎨=⎩； （2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()max min
23f x f f x f ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ ⇒ 25322b a b +=⎧⎨++=⎩⇒ 13a b =-⎧⎨
=⎩
例2、求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

解：对称轴0x a =
（1）当1a <时，()min 122y f a ==-； （2）当13a ≤≤时，()2min 1y f a a ==-； （3）当3a >时，()min 3106y f a ==-
改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；
（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-； （3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2min 1f x f a a ==-； （4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。

例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。

解：对称轴02x =
（1）当2t <即2t >时，()2
min 43y f t t t ==-+；
（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2
min 12y f t t t =+=-
例4、讨论函数()2
1f x x x a =+-+的最小值。

解：()22
21,11,x a
x x a f x x x a x a
x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为
直线12x =-
，12x =，当12a <-，11
22
a -≤<，12a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
因此，（1）当
1
2
a<-时，()min13
24
f x f a
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
；
（2）当
11
22
a
-≤<时，()()2
min
1
f x f a a
==+；
（3）当
1
2
a≥时，()min13
24
f x f a
⎛⎫
==+
⎪
⎝⎭。