y
y
. .. . ..
O
2x
O
2
x
f (0) f (2) m(3m 2) 0 0 m 2
或
f
(2)
0且另一根在(0,2)
m
2 3
3 x2
1 3
或 f (0) 0且另一根在(0,2) m 0 x2 3 舍 综上：0 m 2
3
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围
（9)一根在（-2,0）内，另一根在（1,3）内
f (2) m 10 0
f (0) m 0
f
(1)
2m
2
0
f (3) 4m 0
y
.. .. .
－2 O 1 3 x
m无解
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的根的分布
两个根都小于k 两个根都大于k
一根小于K， 一根大于K
y
y
y
O
kx
Ok
k
x
O
x
0
0
b 2a
k
b 2a
k
f (k ) 0 f (k )bx+c=0 （a>0）的根的分布
两 个 根 都1 2 在 一个根小于k1, x 1 ∈ ( m , n ) （k1,k2 )内 一个根大于k2 x2∈(p,q)
y
O
（7) 一个根小于0,另一根大于2
y
f(0)0
f
(
2
)
0
m0
. .. O2 x
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围
（8） 两个根有且仅有一个在（0 . 2）内
y
y
. .. . . .
O
2x
O
2
x
f (0) f (2) m(3m 2) 0
x2+(m-3)x+m=0
. ..
O
1
x
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围
（6） 两个根都在（0,2）内
(m 3)2 4m 0
y
0
3
m
2
2
f (0) m 0
f (2) 3m 2 0
.
O
.. 2x
m
2 3
m
1
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围
k1
k2 x
y
k1
O
k2 x
y
O
m
np
q x
0
k
1
b 2a
k2
f
(k 1
)
0
f(k1)f(k2)<0
f (k 2 ) 0
f (m) 0
f (n) 0
f
(
p)
0
f (q) 0
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围
（1）两个正根
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m 0
y
..
O
x
m 0 m 1
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围
（2）有两个负根
y
(m 3)2 4m 0
3 m 0 m 0
（4） 两个根都大于 1
2
y
(m 3)2 4m 0
b 2a
3 m 2
1 2
f
(1) 2
6m 5 4
0
..
O1
. x
2
m
5 6
m
1
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围
（5） 一个根大于1，一个根小于1
y
f (1) 2m 2 0
m m 1
. . Ox
m m 9
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围
（3） 两个根都小于1
(m 3)2 4m 0
b 2a
3m 2
1
f (1) 2m 2 0
m m 9
y
. .. O 1x
一元二次方程的根的分布
例：已知方程x2+(m-3)x+m=0,求m的范围