《线性代数》第二章练习题参考答案
8、设矩阵A满足A2+A-4E=O，则(A-E)-1=
(A+2E) 一、填空题
1、设A=⎛ 12 ⎫⎛3-2⎫⎛⎝-13⎪⎪⎭，B= ⎝21⎪⎪⎭
，则 3A+2B =⎛ 92⎫⎝111⎪⎭； AB =⎛ 70⎫⎝35⎪⎭；BT
= 3⎝-2⎛19
-3⎫2、设矩阵A=⎛ -15⎫⎪，8⎪⎝13⎭B=⎛ 31⎫则⎛-
614⎫-1 -8⎝-20⎪，⎭3A-B= ⎝59⎪，
⎭
AB= 11⎪⎪。

⎝88⎪⎭
3、设A为三阶矩阵，且A=2，则2A*-A-1=
272
4、设矩阵A为3阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__25____，|2A|=____40_ ⎛⎛3、设A= 120⎫
340⎪⎪，B=⎛ 23-1⎫T
86⎫ 1810⎪⎝-121⎪
⎭⎝-240⎪⎪⎭，则AB=
⎪⎝310⎪⎭
⎛11⎫
4、设A=
1 2
25⎪
⎪，且r(A)=2，则t= 4 ⎝11t⎪⎭
⎛ 123
3⎫
5、若A=
3-12⎪
06-24⎪
⎪则r(A)=_2____ ⎝0
000⎪
⎭
6、设矩阵A=⎛ 1-1 ⎫⎛
⎝23⎪⎪⎭，B=A2-3A+2E，则B-1
= 01⎫ 2⎪⎝-1-1⎪⎭
7、设A是方阵，已知A2-2A-2E=O，则(A+E)-1=3E-A
2⎫1⎪⎭ 2
⎛102⎫9、设A是4⨯3矩阵且r(A)=2，B= 020⎪
⎪，则r(AB)=
⎝-103⎪⎭⎛10、设A= 100⎫ 220⎪⎪，则(A*)-1=1⎛100⎫A=1 220⎪
⎪⎝345⎪⎭A10 ⎝345⎪
⎭
⎛⎛ 1
00⎫11、设A= 300⎫ 140⎪
⎪，则(A-2E)-1=
-11⎪
⎝003⎪⎭
220⎪⎪（用分块矩阵求逆矩阵) ⎝
00
1⎪⎭
⎛⎛ 5
20⎫
1-2
0⎫0
-2500⎪12、设A= 2
100⎪
⎪
001-2⎪，则A-1=
0012⎪⎪ 33⎪
⎝0011⎪
⎪⎭
⎪⎝00-11⎪33⎪⎭
13、已知A为四阶方阵，且A=
12，则3281
⎛⎫⎛2n
⎫14、设A= 2⎫
3⎪⎛22,A2
= 32
⎪⎪⎛2-1n
⎪⎪
，An= 3⎪,A-1= 3-1⎝4⎪⎭⎝
42⎪⎭⎝
4n⎪⎭⎝⎛ 100⎫⎪⎛00⎛15、若A= 230则A*= 18
⎫ -1260⎪
=1⎪，A-1 18
00⎫⎪，
-1260⎪⎝456⎪⎭⎝-2-53⎪
⎭18⎝-2-53⎪⎪⎭
二、单项选择题
⎫
⎪⎪4-1⎪⎭
1、若A2=A，则下列一定正确的是 ( D ) (A) A=O (B) A=I (C) A=O或A=I (D)以上可能均不成立
2、设A,B为n阶矩阵，下列命题正确的是（ C ）（A）
(A+B)=A+2AB+B；（B）(A+B)(A-B)=A-B； 2
1
（A）a；（B）；（C）an-1；（D）an。

a
⎛a11 A= a21
9、设 a12a22a13⎫⎪a23⎪,⎪⎛a11
B= a11+a31
a12a12+a32
⎫
⎪
a13+a33⎪,⎪a13
（C）A2-E=(A+E)(A-E)；（D）(AB)2=A2B2。

3、设A是方阵，若AB=AC，则必有（ C ）（A）A≠0时B=C；（B）B≠C时A=0；（C）B=C时A≠0；（D）A≠0时B=C.
4、下列矩阵为初等矩阵的是（ A ）
⎛001⎫⎛（A） 100⎫⎪⎛ 312⎫⎛100⎫ 010⎪012⎪（C） 123⎪⎪（B）⎪（D）000⎪
⎝⎭⎪
100⎪⎝012⎪⎭⎝231⎪⎭
⎝001⎪⎭5、设A、B为同阶方阵，且AB=O，则必有（ C ）（A）A=O或
B=O；（B）A+B=O；（C）A=O或B=O；（D）A+B=O。

6、A、B为同阶方阵，则下列式子成立的是（ C （A）A+B=A+B；（B）
AB=BA；
（C）AB=BA；（D）(A+B)-1=A-1+B-1 。

7、设n 阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，则有（（A）ACB=E；（B）CBA=E；（C）BAC=E；（D）BCA=E
8、设A为n 阶方阵，且A=a≠0，则A*= （
） D ） C ）⎝a
31
a32
a33⎭⎝
a
21a22
a23⎭
⎛100 C= ⎫ 001⎪⎛⎪,D= 100⎫
010⎪
⎪，则必有（ C ）
⎝010⎪⎭⎝101⎪⎭
（A） ACD=B ；（B）ADC=B；（C） CDA=B；（D） DCA=B 三、解答题
⎛⎛ 11
11⎫⎪1、求A-1
：（1）A= 2
23⎫ 1-10⎪ 11-1-1⎪⎪；（2）A= ⎪⎝-121⎪⎭ 1-11-1 ⎝1-1-11⎪⎪
⎭
⎛ 11
11⎫ 4444⎪⎛⎪(1)A-1= 1-4-3⎫
11 1-5-3⎪ 44-14-1⎪4 ⎪, (2) A-1
= ⎪⎪
⎝-164⎪⎭ 1-11 444-14⎪⎪
1111⎪⎝4-4-44⎪⎭
⎛12、若AX = B，其中A= 00⎫ -110⎪⎛⎪，B= 10⎫ 01⎪
⎪，求（1）A-1；（2）X
⎝12-1⎪⎭⎝20⎪⎭
⎛1⎛10⎫A-1= 00⎫
110⎪
⎪,X=A-1B= 11⎪⎝32-1⎪
⎭
⎝12⎪
⎪⎭3、解矩阵方程
X⎛ 21⎛13⎫
⎪⎫
⎝53⎪⎪⎭= 20⎪，求X=?
⎝31⎪
⎭
解：设A=⎛ 21⎫⎛13⎫
⎝53⎪⎭,B= 20⎪A-1
⎛3-1⎫⎪
，= ⎪⎝31⎪
⎭
⎝-52⎭⎛X=BA-1= 13⎫0⎪⎛3-1⎫⎛-125⎫ 2⎪⎪= 6-2⎪⎝31⎪⎭⎝-52⎭⎝4-1⎪
⎪⎭⎛11-1⎫4、设A= 011⎪
⎪且A2-AX=E，求矩阵A
⎝00-1⎪⎭
解：A(A-X)=E, A-X=A-1
，
⎛⎛1-10⎫⎛02-1⎫
X=A-A-1= 11-1⎫
011⎪
- ⎪
011⎪⎪= 000⎪⎝00-1⎪⎭⎝00-1⎪⎪⎭⎝000⎪⎭
5、设A是4阶实矩阵，且A*=8，求A
A=2
6、设A为三阶方阵，且A=2，求(3A)-1-2A*
(3A)
-1
-2A*
==-113
54
四证明题：
1、设Ak=0，其中k为正整数，证明：(E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1 因为(E-
A)(E+A+A2+ +Ak-1)=Ek-Ak=Ek-o=E 由定义 (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1
2、设方阵A满足A2
-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及（A+2E）-1
证明（1）由A2-A-2E=O，得A2
-A=2E，A(A-E)=2E, A⎡⎢1⎣2(A-E)⎤⎥⎦
=E
所以 A可逆，且A-1=
1
2
(A-E) （2）由A2
-A-2E=O，得A2
-A-6E=-4E，于是（A+2E）(A-3E)=-4E，所以
（A+2E）⎡⎢⎣-1⎤4(A-3E)⎥⎦
=E，因而A+2E可逆，且（A+2E）-1
=-14(A-3E)。