线性代数（同济大学第五版）行列式讲义例题线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题第一章行列式行列式就是研究线性方程组的一个有力工具,本章得出了行列式的定义、性质及其计算方法.§1全排列及其逆序数一、排序及其逆序数定义对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.定义1由n个自然数1,2,?,n共同组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称作一个n元全排序,缩写为排序.例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.定义2在一个排序里,如果某一个很大的数码排在在一个较小的数码前面,就说道这两个数码形成一个逆序（反序）,在一个排序里发生的逆序总数叫作这个排序的逆序数,用?(i1,i2,?,in)则表示排序i1,i2,?,in的逆序数.根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：设于一个n级排序i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)小的且位列it前第1页面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个数之和就是这个排序的逆序数．即为n?(i1i2?in)?t1?t2tn??ti.i?1基准1排序排序45321的逆序数.解因为4排在首位,故其逆序数为0；比5大且位列5前面的数有0个,故其OMO序数为0；比3大且位列3前面的数有2个,故其OMO序数为2；比2大且位列2前面的数有3个,故其OMO序数为3；比1大且位列1前面的数有4个,故其OMO序数为4．可知所求排序的逆序数为(45321)002349．定义3逆序数为偶数的排序叫作偶排序,逆序数为奇数的排序叫作奇排序.(i1,i2,,in)=i2前面大于i2的元素个数+i3前面大于i3的元素的个数in前面大于in的元素的个数,比如:(2341)0033,逆序数为3,?(2341)为奇排列.?(4321)?1?2?3?6,逆序数为6,?(4321)为偶排列.定义4把一个排序中某两个数码i和j交换边线,而其余数码不颤抖,就第2页获得一个崭新排序.对一个排序所颁布的这样一个转换叫作一个重新排列.例如排列2341经过元素2,4对换变成排列4321,可记为2341??(2?,4)?4321定理1对换改变排列的奇偶性.证明先证相连重新排列设排列为a1?alabb1?bm对换a与b.a1?albab1?bm当a?b时,经对换后a的逆序数增加1,b的逆序数不变;当a?b时,经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.再证非相连重新排列,现设排序为a1?alab1?bmbc1?cn现来重新排列a与bam次相邻对换1?alab1?bmbc1?cna1?alabb1?bmc1?cnam?1次相邻对换1?alabb1?bmbc1?cna1?albb1?bmac1?cna2m1次相连重新排列1?alab1?bmbc1?cna1?albb1?bmac1?cn因此对换两个元素,排列改变奇偶性.也就是说,只要经过一次重新排列,奇排序变为偶排序,而也时排序变为奇排第3页列.推断奇排序变为标准排序的重新排列次数为奇数,偶排序变为标准排序的重新排列次数为偶数.二、排列及其逆序数性质与定理性质1设i1i2?in和j1j2?jn就是n个数码的任一两个排序,那么总可以通过一系列重新排列由i1i2?in得出结论j1j2?jn.引理1对换的可逆性――即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.所以任意n 元排列i1i2?in可经过一系列对换变为自然排列12?n.而自然排列12?n可经一系列对换变为任意一个n元排列j1j2?jn.事实上,由定理1所述：任一一个n元排序j1j2?jn可以经一系列重新排列变为自然排列12?n,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.定理2n?2时,n个数码的排序中,奇排序与也时排序的个数成正比,均为n!2个.证明：设n个数的排序中,奇排序存有p个,偶排序存有q个,则p?q?n!,对p个雷排序,颁布同一重新排列,则由定理1获得p个偶排序.（而且就是p个不同的偶排列）因为总共有q个偶排列,所以p?q.同理q?p.第4页所以p?q?n！2.§2行列式的定义开场白三阶行列式的形成规律为：a11a12a13a21a22a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32a31a32a33?a13a22a31?a12a21a33? a11a23a32a11a12a13其中：符号aa22a22123是由3个元素aij构成的三行、三列方表,a31a32a33纵排叫行,横排叫列；在上述形式下元素aij的第一个负号叫行负号,第二个负号叫列负号.从形式来看,三阶行列式就是上述特定符号则表示的一个数,这个数由一些项的和而得：1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积；2）项数：三阶行列式就是3！=6项的代数和；3）项的符号：每项的一般形式可以写成a1j1a2j2a3j3时,即行标为自第5页然排序时,该项的符号为(?1)?(j1j2j3),即为由列标排序j1j2j3的奇偶性然定.一、n阶行列式的定义定义5n阶行列式定义为a11a12?a1na?a21a22?a2nj1j2?jn)??(i1i2?in)(?1)?(ai1j1ai2j2?ainjni1i2?inaj 1j2?jnn1an2?anna11a12?a1n用符号a21a22?a2n2表示由n个数aij所组成的n阶行列an1an2?ann式,直和为a或d,这就是一个数,其中i1i2?in和j1j2?jn都是n级排列,?表示对所有的n级排列于议和.由定义可以看出,n阶行列式的值等于所有取自不同的行、不同的列上的n个元素的乘积ai1j1ai2j2?ainjn的代数和,共有n!项,每一项前面的符号由排序i1i2?in和j1j2?jn的逆序数?(i1i2?in)+?(j1j2?jn)同意.第6页另外行列式的还可以定义为a11a12?a1na?a21a22?a2n(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjnan1an2?ann或a11a12?a1na?a21a22?a2n(?1)?(i1i2?in)ai11ai22?ainnan1an2?ann以上两个定义式分别以行列的排序为标准序列,其每一项前面的符号存有j1j2?jn和i1i2?in的逆序数同意.例2在四阶行列式中,a21a32a14a43应带什么符号？求解1）按行列式定义5排序,因为a21a32a14a43?a14a21a32a43,而4123的逆序数为?(4123)?0?1?1?1?3,所以a21a32a14a43的前面应当拎负号.2）按行列式定义5计算,因为a21a32a14a43行指标排序的逆序数为?(2314)?0?0?2?0?2,第7页列指标排列的逆序数为?(1243)?0?0?0?1?1.所以a21a32a14a43的前面应带负号.a11a1200基准3排序行列式a210a2300a.3200000a44分析按行列式定义,每一项都就是源自相同行相同列于的4个元素的乘积,共计4!项.但此行列式中存有很多零元素,因此有的项为零,故只需找到C99mg零元素的项,何不设立各个字母则表示的都不为零元素.于是在第一行中只有两个非零元素a11和a12.当第一行挑a11时,第二行就可以挑a23（a21与a11同列,故无法挑）,第三行就可以挑a32,第四行就可以挑a44,即a11a23a32a44就是其中的一项.另外,当第一行挑a12时,第二行可以挑a21和a23,但当第二行取a23,第三行只能取零元素,故第二行只可以取a21,第三行取a33,第四Charlieua44,即为另一非零项为a12a21a33a44.解d?(?1)?(1324)a?(2134)11a23a32a44?(?1)a12a21a33a44??a11a23a32a44?a12a21a33a44第8页例4证明n行列式a110?0a11a12?a1n(1)a21a22?00a22?a2na11a22?ann,an1an2?ann00?anna1n(2)a2,n?1an(n?1)2n(?1)2a1na2,n?1?an1an1?an,n?1anna110?0a11a12?a1n证(1)记da22?0a22?a2n1?a21d02?an1an2?ann00?ann由于当j?i时,aij?0,故d1中可能不为0的元素aipi,其下标应有pi?i,即p1?1,p2?2,?,pn?n.在所有排列p1p2?pn中,能满足上述关系的排列只有一个自然排列12?n,所以d?1中可能将不为0的项只有一项(?1)a11a22?ann,此项的符号(?1)??(?1)0?1,所以第9页d1?a11a22?ann.由于当j?i时,aij?0,故d2中可能不为0的元素aipi,其下标应有pi?i,即p1?1,p2?2,?,pn?n.在所有排序p1p2?pn中,能够满足用户上述关系的排序只有一个自然排在列12?n,所以d?2中可能不为0的项只有一项(?1)a11a22?ann,此项的符号(?1)??(?1)0?1,所以d2?a11a22?ann得证.a1n(2)根据行列式定义a2,n?1a2nt(?1)a1na2,n?1?an1an1?an,n?1ann其中t为排序n(n?1)?21的逆序数,故t?0?1?2n?n(n?1)2证毕.二、子式、余子式与代数余子式第10页。