参数估计习题参考答案
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一、单项选择题：
1. 区间估计表明的是一个 ( B )
（A ）绝对可靠的范围 （B ）可能的范围 （C ）绝对不可靠的范围 （D ）不可能的范围 2. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称 （ D ） （A ）甲是充分估计量 （B ）甲乙一样有效 （C ）乙比甲有效 （D ）甲比乙有效
3. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均值的置信区间长度将 （ D ） （A ）增加 （B ）不变 （C ）减少 （D ）以上都对
4.设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间13分钟，总体服从正态分布且标准差为3分钟。
若想对完成工作所需时间构造一个90%置信区间，则 （ A ）
A.应用标准正态概率表查出z 值
B.应用t-分布表查出t 值
C.应用二项分布表查出p 值
D.应用泊松分布表查出λ值
5． 100(1-α)%是 （ C ）
A.置信限
B.置信区间
C.置信度
D.可靠因素
6．参数估计的类型有 （ D ）
（A ）点估计和无偏估计（B ）无偏估计和区间估计 （C ）点估计和有效估计（D ）点估计和区间估计 7．在其他条件不变的情况下，提高抽样估计的可靠程度，其精度将 （C ） （A ）增加 （B ）不变 （C ）减少 （D ）以上都对
二、计算分析题
1、12,,
,n
X X X 是总体为2
(,)N μσ的简单随机样本.记1
1n
i i X X n ==∑，
2
2
11()1n i
i S X X n ==--∑，221T X S n =-.请证明 T 是2μ的无偏估计量. 解 (I) 因为2
(,)X N μσ，所以2
(,
)X
N n
σμ，从而2
,E X D X n
σμ= =
．
因为 221()()E T E X S n =-221
()E X E S n =-
221()()DX E X E S n =+-222211
n n
σμσμ=+-=
所以，T 是2μ的无偏估计
设总体
X ~N （μ，σ 2），X
1，
X 1，…，X n 是来自X 的一个样本。
试确定常数c 使2
1
1
21
)(σX X
c
n i i i 为∑-=+-的无偏估计。
解：由于
∑∑∑-=++-=+-=+-+-=-=-1
1
212111
2
111
2
1]))(()(])([])([n i i i i i n i i i n i i i X X E X X D c X X E c X X c E
=∑∑-=-=++-=+=-++1
1
1
1
222
2
111)12()02(])()()([n i n i i i i σn c σ
c
EX EX X D X
D c
当的无偏估计为时21
1
21)(,)1(21
σ∑-=+--=n i i i X X c n c 。
3.设X 1，X 2， X 3， X 4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量
)(3
1
)(6143211X X X X T +++=
5)432(43212X X X X T +++=
4
)
(43213X X X X T +++=
（1）指出T 1，T 2， T 3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。
解：（1）由于X i 服从均值为θ的指数分布，所以
E (X i )= θ,
D (X i )= θ 2,
i=1,2,3,4
由数学期望的性质2°，3°有
θX E X E X E X E T E =+++=)]()([31
)]()([61)(43211 θX E X E X E X E T E 2)](4)(3)(2)([5
1
)(43212=+++= θX E X E X E X E T E =+++=
)]()()()([4
1
)(43213 即T 1，T 2是θ的无偏估计量
（2）由方差的性质2°，3°并注意到X 1，X 2， X 3， X 4独立，知
2
43211185)]()([91)]()([361)(θX D X D X D X D T D =+++= 2432124
1)]()()()([161)(θX D X D X D X D T D =+++=
D (T 1)> D (T 2) 所以T 2较为有效。
4、
（1）根据上述材料，计算这类储蓄账户的平均余额的无偏估计，并计算抽样平均误差； （2）试以95%的概率，估计该储蓄所存款户平均每户的存款余额的置信区间。
解： 1.平均余额为：352元，0/
2.8s =元。
（开口组的组距与相邻组相等）
2、区间为：2
/352 1.96*20.8(311.232,392.768)x z s
α±
=±=
5、松江A 、B 两所大学某学期期末高等数学考试采用同一套题目，Ａ校认为该校学生高数考试成绩比Ｂ校学生成绩高10分以上。
为了验证这个说法，主管部门从A 校随机抽取75人作为样本，测得其分数平均值为78.6分，标准差为8.2分；B 校抽取了80个同学作为随机样本，测得分数平均值为73.8分，标准差为7.4分，试在99％的把握下确定两校平均分之差的置信区间，根据此置信区间主管部门能够得到什么结论？
解：12() 4.8 2.57*1.26(1.56,8.04)x x z -
±=±=α 可以拒绝A 校认为成绩相差10分的观点。
6、（江西财大2006研究生入学试题）某厂欲比较两条自动化蕃茄生产线甲和乙的优劣，分别从两条生产线上抽取12和17个样本，测得番茄酱的重量均值分别为10.6克和9.5克，对应的方差分别为2.4和4.7.假设这两条流水线灌装番茄酱的重量都服从正态分布，且方差相等，试计算甲乙均值差的95%的置信区间。
（-0.4,2.6） 7.随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。
设炮口速度服从正态分布。
求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。
解：σ的置信度为0.95的置信区间为
)1.21,4.7()18
.211
8,535.17118())1()1(,)1()1((22
122
2
2=⨯⨯=-----n S n n S n ααχχ 其中α=0.05, n=9
查表知 180.2)8(,535.17)8(2975.02025.0==χχ
8、（英文改编题）为了解鸡肉三明治中脂肪的含量，抽取了20个样本得到的脂肪含量如下（单位：克）
（1） 计算总体鸡肉三明治中含有脂肪均值的95%置信区间。
（2） 为了进行（1）中的置信区间估计，还需要什么假设条件？ （3） 题目样本的数据满足（2）的假设条件吗？请说明理由。
解：（1）小样本，总体方差未知，因此用t 统计量来做区间估计：
2
(201)/23.2 2.093*
(17.403,28.997)x t s α±-=±= （2）假设总体服从正态分布
（3）可以通过计算这组数据的峰度和偏度来判断，或者通过JB 统计量来检验
EXCEL 的结果偏度为：0.6，峰度为4.4.因此可以认为改组数据不服从正态分布
9、实验题。
工厂对某批螺丝钉的长度进行抽检，从中抽出16个螺丝钉作为样本，测量它们的长度后，并利用EXCEL 软件中的“描述统计”得到的分析结果整理如下：
(1) 请填出表中用序号标出的空格数值
(2) 请计算该批螺丝钉长度的95%置信区间。
(1.0948,1.1177)。