第十六章 量子力学基础16-1试比较概率波与经典物理中的波的不同特性。

答：微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数(),r t ψ来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波，也称为概率波。

它与经典物理中的波有如下区别：（1）描述微观粒子的波函数(),r t ψ并不表示某物理量的波动，它的本身没有直接的物理意义。

这与经典物理中的波是不同的。

（2）微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。

这与经典物理中的波也是不同的。

（3）在经典物理学中，波函数(),r t ψ和(),A r t ψ(A 是常数)代表了能量或强度不同的两种波动状态；而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态，或者说代表了同一个概率波，因为它们所表示的概率分布的相对大小是相同的。

也就是说，对于空间任意两点i r 和j r 下面的关系必定成立：()()()()2222,,,,i i j j r t A r t r t A r t ψψ=ψψ 所以，波函数允许包含一个任意的常数因子。

这与经典物理中的波也是不同的。

16-2概述概率波波函数的物理意义。

答：概率波波函数的物理意义：微观粒子的波函数(),r t ψ的模的平方：()2,r t ψ表示在空间某处粒子被发现的概率密度，这种概率在空间的分布，遵从波动的规律，因此称之为概率波。

波函数具有：（1）单值性、连续性和有限性；（2）波函数满足归一化条件。

（3）波函数允许包含一个任意的常数因子（即：(),r t ψ与(),A r t ψ描述同一个量子态）（4）满足态叠加原理，即如果函数()1,r t ψ、()2,r t ψ都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加也是这个系统的一个可能的量子态。

（5）波函数必定是复数。

16-3 如果粒子的波函数为(),,x y z ψ，试求出在x x dx →+、y y dy →+、z z dz →+ 范围内找到粒子的概率的表达式。

解：在题意所述范围内找到粒子的概率为：()2,,x y z dxdydz ψ16-4 如果粒子的波函数为(),,r θϕψ，试求：(1)在r r dr →+的球壳内找到粒子的概率；(2)在(),θϕ 方向上、在sin d d d θθϕΩ=立体角内找到粒子的概率。

解(1)在r r dr →+的球壳内找到粒子的概率：()()2220,,sin r d d r dr ππθϕϕθθ⎡⎤ψ⎢⎥⎣⎦⎰⎰(2)在(),θϕ方向上、在sin d d d θθϕΩ=立体角内找到粒子的概率为：()()()()()()222222000,,sin ,,sin ,,r r d d dr r r dr d d r r dr d θϕθθϕθϕθθϕθϕ∞∞∞⎡⎤⎡⎤ψ=ψ=ψΩ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰16-5 试写出下面两种情况下粒子的定态薛定谔方程：(1)自由粒子；(2)在有心力场中运动的粒子。

解：(1)自由粒子的动能为 22p m ，写成算符为：22222222222m m x y z ⎛⎫∂∂∂-∇=-++ ⎪∂∂∂⎝⎭因为在这种情况下，粒子的动能就是粒子的总能量E ，所以定态薛定谔方程为：()()ˆ,,,,Hx y z E x y z ψ=ψ 即：()()22,,,,2x y z E x y z m-∇ψ=ψ或：()()222,,,,0mEx y z x y z ∇ψ+ψ=(2)当粒子在有心力场中运动时，粒子的能量应为：()2222p p AE U r m m r=+=+哈密顿量应写为：22ˆ2AHmr=-∇+式中A 是与有心力场有关的常量。

将上式代入定态哈密顿方程的一般形式：()()ˆ,,,,Hx y z E x y z ψ=ψ 中，得：()()22,,,,2A x y z E x y z mr ⎛⎫-∇+ψ=ψ ⎪⎝⎭整理得：()()222,,,,0m A x y z E x y z r ⎛⎫∇ψ+-ψ= ⎪⎝⎭16-6 如果可以将氢原子看作无限深势阱，电子就被幽禁在这样的势阱中。

现已知氢原子的线度为10-10m ，试求电子处于基态和第一激发态的能量。

解：根据无限深势阱的能量表达式，可以将电子的能级写为：2222,1,2,3,2n e E nn m a π==将有关数据代入上式，得：()237.6n E n eV =基态：1n = 137.6E eV =第一激发态：2n = 1150E eV =16-7 如果可以将氘核看作无限深势阱，质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。

现已知氘核的线度为10-14m ，试求质子和中子处于基态的能量。

解：将质子和中子的质量(271.67310p m kg -=⨯、271.67510n m kg -=⨯)以及有关数据代入无限深势阱的能量表达式2222,1,2,3,2n E nn maπ==，可以得到：质子基态的能量为：2221212.052p E MeV m aπ==；中子基态的能量为：2221212.042n E MeV m aπ==16-8 在宽度为a 的一维无限深势阱中，当粒子分别处于状态 1ψ和2ψ 时，发现粒子的概率最大的位置在何处？解：处于无限深势阱中粒子的本征波函数可以表示为：()1,2,3,n n x x n aπψ==当粒子处于状态：()1x x a πψ=时，发现粒子的概率密度为：()2212sin xx a aπψ= 对上式求极值：()2212sin 0d d x x dx dx a a πψ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 解得：2sin 0x a π= (1)由此得：2ax m = (2) 在势阱范围内、并使式(1)得到满足的m 值只能是0、1、2.因为当为0和1时，x = 0和a ，波函数及其概率密度都等于零，对应于概率密度极小值。

所以能满足概率密度极大值的只能是1m =，此时2ax =。

当粒子处于状态: ()22x x a πψ=时，发现粒子的概率密度为: ()22222sin xx a aπψ=. 对上式求极值:()22222sin 0d d x x dx dx a a πψ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦解得：4sin 0x a π= 故得：4ax m = 在势阱范围内、符合概率密度极大值条件的m 是1和3，即：4a x =和34ax = 15-9试比较一维线性谐振子与经典的弹簧振子的区别答：（1）按照经典力学的结论，一维谐振子的能量如式2221122E kA A μω==所表示，如果在势能曲线的纵轴上取与振子能量相应的E 点，过E 点作x 轴的平行线，交势能曲线上M 、N 两点，如图所示。

M 和N 所对应的横坐标的绝对值就是振子的最大位移，振子只能处于x A ≤的范围内，x A >x 的区域则是经典禁区，振子是不可能进入这个区域的。

而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典禁区，也就是说，在所谓“经典禁区”内发现粒子的概率不等于零，不存在什么禁区。

（2）按经典力学的规律，在平衡位置(x = 0)振子的速度为最大，停留的时间为最短，而在最大位移处(x = ±A)，振子的速度为零，停留的时间最长。

将这一规律应用于微观粒子，自然会得出在平衡位置粒子出现的概率最小，而在最大位移处粒子出现的概率最大。

（3）经典谐振子零点的能量为零。

而量子状态下的谐振子的零点能为：012E ω=（4）一维揩振子的能量只能取一系列分立值：12n E n ω⎛⎫=+⎪⎝⎭而经典的谐振子的能量是连续的。

16-10 求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。

解：一维线性谐振子波函数的一般形式为：()()212n n n A e H ξψξξ-= 式中A n 是常量，可用归一化条件确定，在此与我们的题目无关。

变量ξ由式：x ξα==表示，μ是谐振子的质量。

在第一激发态，1n =，波函数为：()212112A eξψξξ-=对概率密度取极值：()221221120d d A e d d ξψξξξξ-== 得到符合极大值条件的解为：1ξ=±,即得：x =16-11 试求处于基态的氢原子的平均半径，并与玻尔半径作比较。

解：处于基态的氢原子波函数为：()100r ar ψ-=式中a 就是玻尔半径0a 。

半径r 的平均值可以表示为：42223310003304463sin 162ra a r r d d dr r e dr a a a ππψθϕθ-∞∞====⎰⎰⎰⎰这表示，基态氢原子的平均半径ｒ等于玻尔半径的3/2倍，这是由于电子概率的径向分布的极大值正好处于玻尔半径0a 处，并且在峰值两侧分布情况是不对称的，如图所示。

16-12 试证明处于基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。

解：处于基态的氢原子的势能可以表示为：204e U rπε=-求其平均值：22222210030000sin 4ra e e r r d d dr e dr r a ππθϕθπεπε-∞∞⎛⎫⎛⎫ψ-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ()()24422122222000000122444424e e e m e m e m e e e E a πεπεπεπεπε⎛⎫=-=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭其中：()4122024e m e E πε=-氢原子基态能量。

所以，基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。