2005级 《振动力学》 课程试题（A 卷）二、基本概念与简单计算题：（共 50 分）1．（5分）某粘滞阻尼振动系统，8个振动周期后振幅由10mm 减为1mm ，求阻尼比。

解：对数衰减率01ln n X n X δ⎛⎫=⎪⎝⎭110ln 81⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 108= ………………..（3分）而221πξδξ=-，则阻尼比224δξπδ=+＝0.046……………………（2分）2. （10分）求图示系统微幅振动的微分方程和固有频率。

已知l 、k 、m 、c 、F 。

不计水平杆的质量。

解：方程493ml cl kl F θθθ=--+…………….（6分）固有频率3n k mω= ………………………………….（4分）或 222194d n mk cmωωξ=-=-……………………….（4分）3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值响应。

解：干扰力000010()0t F t t F t t t t ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩….（2分）00001()(1cos )sin 0n n n nF x t t t t t t t t ωωωω⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭………..（4分）题二.2图mckF ll l题二、3图F (t )F 0t 0t000001()cos [sin ()sin ]n n n n nF x t t t t t t t t t ωωωωω⎛⎫=-+--> ⎪⎝⎭……………………..（4分）4. （15分）图示系统，均质杆长为l 质量为m ，上端由铰链悬挂，下端用弹性系数为k 1和k 2的弹簧与光滑水平面上的质量m 1和m 2相连处于自然平衡状态。

（1）建立系统的微振动微分方程。

（2）写出频率方程（可以不求出固有频率）解：（1）1122213m x m lxm θ⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦ 11121122222001()0200k k lxk l k k l m glk l x k lk θ-⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥+-++-=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭-⎣⎦.（10分）（2）频率方程…… ………（5分） 5. （10分）左端固定，右端自由的均匀杆，长度为l ，轴向拉压刚度为EA ，单位长度杆的质量为m ，轴向位移用u 表示，轴向力用P 表示。

求杆纵向振动（一维波动方程）的固有频率与固有振型。

解：一维波动方程：22(,)u x t x∂∂2221(,)u x t at∂=∂，0<x <l 其中E A a m=………………（2分）边界条件： (0,)0u t =，0x lu x=∂=∂ ………………（2分）固有频率： (21)2i a i lπω=- ………………（3分）固有振型： ()()i Ux =(21)sin2i i xC lπ-=（i ＝1，2，……）………………（3分）题二、4图三、综合题：（共 20 分）分数评卷人图示标准m -k 振动系统，设m 1＝m ，m 2＝2m ，k 1＝k 2＝k ，k 3＝2k ；干扰力0()sin F t F t ω=;初始条件t ＝0时01020x x =＝，01021xx = ＝。

用正则坐标变换方法求系统的响应。

解：（1）方程0[]02m M m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2[]3kk K kk -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0sin {()}0F t F t ω⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（2）固有频率和振型21k mω=，2252k mω=；(1)1{}1u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，(2)1{}12u ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭（3）正则振型矩阵主质量：(1){1}11{}[]{}3T m u M u m ==，(2){2}22{}[]{} 1.5T m uM um ==正则振型矩阵： 121[]1132m φ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（4）初始条件正则化00{}[][]{}{00}TT N q M xφ== ,00{}[][]{}{30}TTN qM x m φ==（5）正则初始激励响应2101101113cos sin sinN N N qm k q q t t t kmωωω=+＝，20220222cos sin N N N qq q t t ωωω=+＝0（6）广义坐标初始激励响应题三图F (t ){}[]{}N x q φ==21231sin 11302m k t k m m ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭＝sin sin k t m m k k t m ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭（7）对激励正则化:{()}[]{()}TR t F t φ=＝00sin 132sin F t m F t ωω⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭（8）干扰力的正则坐标响应:01221sin 3()N F q tm ωωω=-，012222sin 3()N F q t m ωωω=-（9）干扰力的广义坐标响应:{}[]{}N x q φ==222212022221212sin 113F t m ωωωωωωωωω⎧⎫+⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪-⎪⎪--⎩⎭（10）总响应{}x =222212022221212sin 113F t m ωωωωωωωωω⎧⎫+⎪⎪--⎪⎪⎨⎬⎪⎪-⎪⎪--⎩⎭＋sin sin k t m m k k t m ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭(评分标准：每步2分)2006级 《振动力学》 课程试题（A 卷）二、基本概念与简单计算题：（共 50 分）1．（5分）设多自由度振动系统的质量矩阵为[M ]，刚度矩阵为[K ]，主质量矩阵用[M p ]表示，主刚度矩阵用[K p ]表示，主振型矩阵用[Q ]表示。

证明：11[][][][]Tp Q M Q M --=。

证明：[][][][]T p M Q M Q =， …………….【2分】左乘1[]p M -得1[][][][][]Tp E M Q M Q -=， …………….【2分】 右乘1[]Q -得11[][][][]Tp Q M Q M --=。

…………….【1分】2. （10分）求图示单自由度线性阻尼系统微幅振动的微分方程和固有频率。

已知l 、k 、m 、c 、F ，水平杆的质量为M 。

解：方程221(3)(2)(2)(3)(3)33st M l m l m gl c l l l k l F l θθθδ⎛⎫+=--++⎪⎝⎭而：3st mgl lk δ=，则：()3493M m l cl kl F θθθ+++= …………….【6分】固有频率33nk M mω=+ …………………………………..…….【4分】或 22219(3)43d n M m k cM mωωξ=-=+-+………….【4分】3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值响应。

解：干扰力()01122112()0F t t t t t t t F t t t or t t⎧-<≤⎪-=⎨⎪≤≥⎩….【2分】1()()sin ()t n n x t F t d m τωττω=-⎰ 01()0sin ()0t n nx t t d m ωττω=-=⎰，t <t 101112121()sin ()()n nF x t t t t t t t t k t t ωω⎛⎫=-+-≤≤ ⎪-⎝⎭………..【4分】122122121()()cos ()[sin ()sin ()]()n n n nF x t t t t t t t t t t t k t t ωωωω⎛⎫=--+---> ⎪-⎝⎭…..【4分】题二.2图mckF ll l题二、3图F (t )F 0 t 1tt 24. （15分）三自由度线性阻尼振动系统，质量为m 2的均质圆盘绕固定轴转动，其它参数如图所示。

（1）以x 1、x 3和θ 为广义坐标建立系统的微振动微分方程； （2）写出频率方程（不必求出固有频率）。

解：（1）【10分】利用动力学定律。

设平衡时弹簧静变形为δ1、δ2、δ3，则1111112211()()sin 30m x k x cx k x r m g δδθ=---+--︒222213331()()2m r k x r r k x r rθδθδθ=+---+333333()m x k x r m gδθ=-+-而：333223311221,,sin 30k m g k r k r k k m g δδδδδ===+︒则：11111222222233333323000000100000()020000000m x x x c k k k r m r k rk k r k r k rk xx x m θθθ⎡⎤⎧⎫⎧⎫+-⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-+-=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎣⎦题二、4图30°ck 1（2）2[][]0n K M ω-=，即：2121222222323233301()02nnnk k m k rk r k k r m r k r k rk m ωωω+---+--=--展开即可。

【5分】5. （10分）设均匀梁长度为l ，横截面积为A ，弯曲刚度为EI ，质量密度为ρ，挠度用u 表示。

求梁两端简支时的横向振动固有频率与固有振型（可以直接利用微振动方程及振型函数的通解，不必推导）。

解：振动方程24224u u atx∂∂+=∂∂，EIa Aρ=【1分】振型函数通解1234()sin cos sinh cosh x C x C x C x C x Φββββ=+++，242aωβ=【2分】边界条件(0,)(,)0u t u l t ==，2222(,)(,)0x x lu x t u x t EIEIxx==∂∂==∂∂ 【2分】即(0)()0l ΦΦ==，(0)()0l ΦΦ''''== 【1分】 代入求得2340C C C ===则1()sin x C x Φβ= 特征方程sin 0l β=，(1,2,)i i i lπβ==固有频率222()iiEI i a A lπωβρ==【2分】振型函数11()sin sin ,(1,2,)i i i x C x C x i l πΦβ=== 【2分】三、综合题：（共 20 分）图示标准m -k 振动系统，设m 1＝m ，m 2＝2m ，k 1＝k ，k 2＝2k ，k 3＝3k ；干扰力0()sin F t F t ω=;初始条件t ＝0时01020x x =＝，010x= ，021x ＝。