1.转动惯量为的圆盘由三段抗扭刚度分别为、和的轴约束，如图J 1k 2k 3k 所示。

求系统的固有频率。

解：
系统的动能为
2
2
1∙=θ
J T 和相当于串联，则 2k 3k 32θθθ+=3
322θθk k =联立以上两式得 θθ3
23
2k k k +=
θθ3223k k k +=系统的势能为 (
)[2
2
33222213
23
23212
1212121θ
θθθk k k k k k k k k k U +++=
++=利用和可得 θωθn =∙
U T =()
()
3232132n k k J k k k k k +++=
ω 2.面积为，质量为的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所S m 示。

作用于薄板的阻尼力为，为薄板总面积，为速度。

若测得νμS F d 2=S 2ν薄板无阻尼自由振动的周期为，在粘性流体中自由振动的周期为。

求系数
0T d T 。

μ
解：
平面在液体中上下振动时：
02=++∙
∙
∙kx x S x m μ d
n d n T T m k πξωωπω2-1,220====
k S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==⇒= k
S k 2
22
--1μξ=
2
020220
-2-22T T T ST m
k S k T T T T d d
d πμμ=⇒
= 3.如图所示均匀刚性杆质量为，求系统的频率方程。

1m
解：
先求刚度矩阵。

令得：
0x 1,==θ
22212111a k b k a a k b b k k +=⋅+⋅=b
k 221-k =令得：
1,0==x θ
a k k 212-=
222-k k =则刚度矩阵为： ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+=2222221--k a
k a k a k b k K 再求质量矩阵。

令 ，得：
0,1==∙
∙∙
∙x θ
0,3
1
212111==m a m m 令，得：
1,0==∙
∙∙
∙x θ
22212,0m m m ==则质量矩阵为： ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡=22
1
003
1m a m M 故频率方程为： 0
-2
=M K ω 4.在图所示系统中，已知和。

用瑞利法计算系统的基频。

m k
解:
近似的选取假设模态为
(
)
T
5.25.11=ψ先求解刚度矩阵：
令0,2-,30,11312113,21===⇒==k k k k k x x 令k k k k k k x x -,3,2-0,12322213,12===⇒==令k k k k k x x ===⇒==3323132,13,-,00,1则刚度矩阵为：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k
k k
k k k K -0
-32-02-3易得质量矩阵为：()
m m m diag M 2=由瑞利商公式：
()2175.115.2ω==ψψψψ=ψm
k M K R T
T m
k 461
.01=⇒ω
5.长为、单位长度质量为的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的l l ρ物块上，如图所示。

物块质量为，弹簧刚度系数为，静平衡位置在处。

m k 0=y 弦线微幅振动，弦内张力保持不变，求弦横向振动的频率方程。

F
解：
模态函数的一般形式为： ()a
x
C a
x
C x ωωφcos
sin
21+=边界条件为： ()()()()t l ky t
t l y m x t l y F t y ,-,-,,0,022∂∂=∂∂=边界条件化为： ()()()()
l k l m l F φφωφφ
-,002'==
导出及频率方程：02=C ，其中()
k
m a F a
l
-tan
2
ωω
ω=
l
F
a ρ=。