上海交通大学2008年振动力学期末考试试题
第一题（20分）
1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。

当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。

试采用能量法求系统微振时的固有频率。

解：
系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。

AB转角：
系统动能：
m1动能：
m2动能：
m3动能：
系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而
有：
上式求导，得系统的微分方程为：
固有频率和周期为：
2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过
定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。

试采用能量法求
系统的固有频率。

解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。

物体B动能：
轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。

轮子动能：
系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：
固有频率为：
第二题（20分）
1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。

设外壳只能沿铅垂方向运动。

采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。

解：
系统为二自由度系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k
当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k
因此系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
频率方程为：
解出系统2个固有频率：
，
2、在图示振动系统中，物体A、B的质量均为m，弹簧的刚度系数均为k，刚杆AD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。

采用影响系数方法，试求：
（1）以x1和x2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2）系统的固有频
率方程。

解：
系统可以简化为二自由度振动系统，以物体A和B在铅垂方向的位移x1和
x2为系统的广义坐标。

当x1＝1，x2＝0时，AD转角为，两个弹簧处的弹性力分别为和。

对D点取力矩平衡，有：；
另外有。

同理，当x2＝1，x2＝1时，可求得：
，
因此，系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
频率方程为：
即：
第三题（20分）
在图示振动系统中，已知：物体的质量m1、m2及弹簧的刚度系数为k1、k2、k3、k4。

（1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）若k1=k3=k4= k0，又k2=2 k0，求系统固有频率；（3）取k0=1，m1=8/9，m2=1，系统初始位移条件为x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。

解：
（1）系统可以简化为二自由度振动系统。

当x1＝1，x2＝0时，有：
k11＝k1+k2+k4，k21＝－k2
当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝k2+k3，k12＝－k2。

因此，系统刚度矩阵为：
系统质量矩阵为：
系统动力学方程为：
（2）当，时，运动微分方程用矩阵表示为：
频率方程为：
求得：
（3）当k0=1，m1=8/9，m2=1时，系统质量阵：系统刚度阵：
固有频率为：
，
主模态矩阵为：
主质量阵：
主刚度阵：
模态空间初始条件：
，
模态响应：
，
即：
，
因此有：
第四题（20分）
一匀质杆质量为m，长度为L，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为k1和k2。

杆质心C上沿x方向作用有简谐外部激励。

图示水平位置为静平衡位置。

（1）以x和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2）取参数值为m=12，L=1，k1 =1，k2=3，求出系统固有频率；（2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率为多少时，能够使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动？
解：
（1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、q为广义坐标，x为质心的纵向位移，q为刚杆的角位移，如图示。

当、时：，
当、时：
，
因此，刚度矩阵为：
质量矩阵为：
系统动力学方程：
（2）当m=12，L=，k1 =1，k2 =3时，系统动力学方程为：频率方程为：
即：
求得：
（3）令，代入上述动力学方程，有：
由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有：
，
要使得杆件只有方向的角振动，而无x方向的振动，则需，因此。

第五题（20分）
如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为。

在梁的位置作用有集中载荷。

已知梁的初始条件为：，。

（1）推导梁的正交性条件；（2）写出求解梁的响应的详细过程。

（假定已知第i阶固有频率为，相应的模态函数为，）
提示：梁的动力学方程为：，其中
，为函数。

解：
（1）梁的弯曲振动的动力学方程为：
可写为：
代入梁的动力学方程，有：
设与、对应有、，有：
（1）
（2）
式（1）两边乘以并沿梁长对积分，有：
（3）
利用分部积分，上式左边可写为：
（4）
由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时
为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：
将上式代入（3）中，有：
（5）
式（2）乘并沿梁长对积分，同样可得到：
（6）
由式(5)、(6)得：
（7）
如果时，，则有：
当
（8）
上式即梁的主振型关于质量的正交性。

再由（3）及（6）可得：
当
当
上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。

当时，式（7）总能成立，令：
、即为第j阶主质量和第j阶主刚度。

由式（6）知有：
如果主振型中的常数按下列归一化条件来确定：
（9）
则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j阶主刚度为。

式（9）与（8）可合并写为：
由式（6）知有：，
（2）悬臂梁的运动微分方程为：
（1）其中：
（2）
令：
（3）
代入运动微分方程，有：
（4）
上式两边乘，并沿梁长度对x进行积分，有：
（5）
利用正交性条件，可得：
（6）
其中广义力为：
（7）
初始条件可写为：
（8）上式乘以，并沿梁长度对x积分，由正交性条件可得：
（9）
由式（6），可得：
（10）利用式（3），梁的响应为：。