课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。

（1）4.3199.87619.980.191998⨯+⨯-⨯； （2）22221111(1)(1)(1)(1)23410---⋅⋅⋅-； 解：原式(4.37.6 1.9)199.81998=+-⨯= 解：原式13243591111223344101020=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=（3）22656613066+-⨯； （4）2244222568562⨯+⨯⨯+⨯解：原式2(6665)1=-= 解：原式22(5644)20000=⨯+=例16、先化简再求值：22(21)(32)(21)(32)(21)(23)x x x x x x x +--+--+-，其中32x =. 解：原式3(21)(32)x x =+- 当32x =时，原式333(21)(32)3(21)(32)3022x x =+-=⨯⨯+⨯-=例17、证明：对于任意自然数n ，223232n n n n ++-+-一定是10的倍数. 证明：∵22132321035210(32)n n n n n n n n ++--+-=⨯-⨯=⨯-∴223232n n n n ++-+-一定是10的倍数例18、是否存在这样一个满足下列条件的正整数，当它加上98时是一个完全平方数，当它加上121时是另一个完全平方数，若存在，请求出该数；若不存在，请说明理由．解：存在.设这个数为x ，依题意，则有298x m +=，2121x n +=解得： 23x =巩固练习：1、在下列等式中，属于因式分解的是（ C ）A ．()()a x y b m n ax bm ay bn -++=+-+；B ．22221()1a ab b a b -++=-+；C ．2249(23)(23)a b a b a b -+=-++；D ．278(7)8x x x x --=--．2、把416x -分解因式，其结果是（ C ）A ．4(2)x -；B ．22(4)(4)x x +-；C ．2(4)(2)(2)x x x ++-；D ．3(2)(2)x x +-． 3、下列多项式中能用平方差公式分解的有（ D ）个（1）22y x +；（2）22y x -；（3）22y x +-；（4）22y x --；（5）2242y x -； （6）22)()(n m ---；（7）244b a -． A ．1； B ．2； C ．3； D ．4．4、222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ B ）A ．40；B ．40±；C ．20；D ．20±． 5、下列各式不是完全平方式的是（ A ）A ．241x x ++；B ．222x xy y -+；C ．2221x y xy ++；D ．2214m mn n -+． 6、已知a 为任意整数，22(13)a a +-且的值总可以被n （n 为自然数，且1n ≠）整除，则n 的值为（ A ）A ．13 ；B ．26 ；C ．13或26；D ．13的倍数． 7、因式分解（1）(2)(2)2m x n x x ----+； （2）3222()2()2()a a b a b a ab b a -+---；解：原式(2)(1)x m n =-+- 解：原式33()a a b =-（3）（n 为正整数）； （4）22()4b c a --+ 解：原式132()n ax ax bx cx d -=+-- 解：原式(2)(2)a b c a b c =+--+（5）22(32)()m n m n +--； （6）22()()a b c a b c ++-+-； 解：原式(4)(23)m n m n =++ 解：原式4()c a b =+（7）3()4()a b a b +-+； （8）2(2)8(2)16x y x y ++++； 解：原式()(2)(2)a b a b a b =++++-解：原式2(24)x y =++ （9）2()10()25x y y x ---+； （10）222139x xy y -+- 解：原式2(5)x y =-+ 解：原式21()3x y =--8、已知2a b +=，32ab =，求代数式33222a b ab a b +-的值． 解：∵2a b +=，32ab =， ∴3322222()[()4]a b ab a b ab a b ab a b ab +-=-=+-233(24)322=⨯-⨯=-9、证明：对于任意的整数n ，22(7)(5)n n +--均能被24整除． 证明：∵22(7)(5)(22)1224(1)n n n n +--=+⨯=+∴ 22(7)(5)n n +--均能被24整除．。