《理论力学》作业《理论力学》作业一. 填空1. 在平面极坐标系中，速度的径向分量为_'r _____ ，横向分量为__'θr ___，加速度的径向分量为_2'''θr r -____，横向分量为_''''2θθr r +____。

2. 在平面自然坐标系中，v 的方向为_质点所在处曲线的切线方向_____， dtdsv =______，质点的切向加速度为_''S dt dv a z ==____,法向加速度为__ρ2v a n =____。

3. 对固定点的动量矩定理为_d J M dt = __，对质心的动量矩定理为__d J M dt''=__，形式相同的原因是惯性力对_质心_的力矩为__零 。

4. 当合外力F 不等于零时，质点组的总动量__不守恒_，但若F 垂直于x 方向，则__质点组沿x 方向__的动量守恒，称为沿某一方向的动量守恒。

5. 当合外力矩不等于零时，质点组的动量矩__不守恒_，但若在x 方向的分量为零，则__质点组对x 轴___轴的动量矩守恒。

6. 任意力系向任一简化中心简化的结果为_主矢和对简中心的主矩__，此时力系并未化至最简，平面力系的最简形式为_合力和力偶_。

7. 力F 为保守力的判据是_0F ∇⨯=_____，F 与其势能函数之间关系为___gradV -=___。

8. 对质心的动量矩定理和对固定点的动量矩定理一样，具有简单形式的原因是_质点系中各质点的惯性力对质心的力矩相互抵消_____。

9. 质点组的柯尼希定理的表达式为__221122c i i T mr m r =+∑ ____。

10.一般力系向任一简化中心简化的结果为_主矢和对简化中心的主矩，平面力系的最简形式为力偶和合力11. 定轴转动刚体的自由度为___1___，平面平行运动的自由度为___3___。

定点转动的自由度为 3 自由刚体的自由度为 6 。

12. 瞬时速度中心在空间描出的轨迹叫__空间极迹____，在刚体上描出的轨迹叫__本体极迹____。

13. 对于刚体，力可以沿其作用线任意移动，若要离开作用线平移，则应满足 力线平移定理 定理，其内容为 在平移的同时必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的力矩 。

14. 刚体对点O 的惯量张量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321000000I I I ,则刚体对过O 点的某给定轴线的转动惯量 I ＝ 232221γβαI I I I l ++= 。

式中的321,,II I 分别为 刚体对o 点的三个惯量主轴的转动惯量 。

15. 质心坐标公式为=c r (),e i i c c i im r r mr F m ==∑∑∑ 。

质心运动定理为c mr = 。

《理论力学》作业16. 非惯性系中的质点动力学基本方程为e c ma F F F '=++，其中e F 为 迁连惯性力 惯性力，=e F '('),e AF ma m m ωγωωγ=--⨯-⨯⨯ ，c F 为 柯氏惯性力 惯性力，=c F γωv m Fc⨯-=2 。

17. 对应于广义坐标αq 的广义力为αQ ，则当αq 为长度时，αQ 具有 力 的量纲，当αq 为角度时，αQ 具有 力矩 的量纲。

18. 拉氏函数L 中不显含某一广义坐标i q ，则意味着 与iq 对应的广义动量守恒 守恒，若L 中不显含时间t ，则意味着 机械能或广义能量守恒 守恒。

19.在空间转动参照系中运动的质点，相对于固定坐标系的绝对加速度___a =()2r a ar r v ωωωω'=+⨯+⨯⨯+⨯（具体形式）。

20. 一直管以恒定角速度ω绕过管端O 点的铅直轴在水平面内转动，管中的一质点相对直管以速度v '运动，当它与O 点距离为x 时，它所受的惯性离心力为__i x mw F 2=______，科氐力为_2C F m v ω'=-⨯_______。

21. 变质量质点的动力学基本方程为___dtdmV dt d mr+=_________。

22. 质点在有心力作用下的运动，具有下面两个主要的运动特征对力心的动量矩守恒和机械能守恒_守恒。

23. 极坐标下质点速度的径向分量为__r ______，横向分量为__r θ _____，加速度的径向分量为__2r r θ-____,横向分量为___2r r θθ+ _____。

24. 已知一运动质点的拉格朗日函数为2221()2b L m rr r θ=++ ，则哈密顿函数为H=__222222112222r p p b b H mr mr r m mr rθθ=+-=+- ______（式中ｂ为常数）。

二. 半圆柱体重P ，质点C 到圆心O 的距离为π34Ra =,其中R 为圆柱体的半径，圆柱体与水平面间的摩擦系数为μ，试证明：当半圆柱体将被拉动时所偏过的角度πμπμθ343sin 1+=-解：由平面任意力系的平衡方程和受力情况可列如下方程。

∑=0ixF 0F f ∴-= (1) ∑=0iyF0N P ∴-= (2)0(=i B F m 0)sin (sin =--∴θθR R F Pa (3)由(1)(2)得：N f F μ== 又P N = P F μ=∴ 代入(3)得θμμθsin sin PR PR Pa -= PR PR pa μθμ=+∴sin )(θsin =Ra R μμ+，将π34R a =代入可得πμπμθ343sin +=。

三. 试用拉格朗日方程建立弹簧振子的运动微分方程，并求出其振动周期（已知：弹簧的倔强系数为K ，物块的质量为m ）。

解：系统自由度1=S ，取q=x,系统的动能2'21x m T = 系统的势能221kx V ==-=V T L 2'21x m -221kx 代入拉氏方程：0)(=∂∂-∂∂x l x l dt d ，得：0''=+kx x m 0''=+∴x m k x 令mkw =2，则w 为弹簧振子简谐振动的圆频率。

km W T ππ22==∴ 四. 长l 2，质量为m 的均匀棒，其上端A 靠在光滑的墙上，下端则固联一不能伸长的线BC ，线的上端固结于墙上C点，C 点与A 点在同一垂直线上，棒与墙所成的角度为α，线与墙所成的角度为β，如果ABC 平面为与墙垂直的铅垂面。

求平衡时αβ与之间的关系。

（用刚体平衡方程求解）。

解：αβcos 0(1)sin 0(2)0sin 2cos 0(3)()0yi xi BiT mg F N T F mgl N l m F ββαα⎧-==⎪-==⎨⎪-==⎩∑∑∑)1()2((3)Ntg N mg tg mg ββ==得：。

代入式得sin 2cos 0mgl mg tg l αβα-∙=即：202tg tg tg tg αβαβ-=∴=五. 一端固结在天花板上的绳，缠着一个半径为r ，重为p 的滑轮，求滑轮中心向下运动的加速度a 和滑轮的角加速度β。

（用矢量力学方法求解）解：2(1)1(2)2c P P T x g p T r r g θ⎧-=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩c r xθ= （3）（1）（2）（3）三式联解可得：=a ''c x =g 32 =βθ=r g 32六. 半径为a ，值量为m 的圆柱体，沿着倾角为α的粗糙斜面滚下。

试求质心沿斜面运动的加速度及约束反作用力的法向分量N和切向分量（摩擦阻力）f （用矢量力学方法求解）。

解：由平面运动动力学基本力学方程得2sin (1)cos (2)1(3)2c mx mg f o N mg ma fa αθ⎧⎪=-⎪=-⎨⎪⎪=⎩ )4( θa x c =纯滚动条件： 以上四式联立求解可得：21sin ,cos ,sin 33c x g N mg f mg ααα===七. 试用拉氏方程建立单摆的运动微分方程（已知摆长l ，摆球质量为m ）。

解：取1s q θ==体系动能221(1cos )T ml V mgl θθ==- 势能221(1cos )2L T V ml mgl θθ∴=-=-- 代入保守系拉氏方程(0d L Ldt q q αα∂∂-=∂∂ 可得：0sin 0sin 2=+∴=+θθθθlg mgl ml 当θ很小时sin θθ≈。

故有0=+θθlg八. 设质量为ｍ的质点，受重力作用被约束在半顶角为α的圆锥面内运动，试以ｒ，θ为广义坐标，写出体系的(1)动能；(2)势能；(3)拉氏函数；(4)质点的运动微分方程。

解：(1)采用柱面坐标系，体系动能为：22221()2T m r r z θ=++ 变换关系αrctg Z = αctg r Z ''=∴ 代入上式可得：)sin 1(212'22'2θαr r m T += (2)势能V mgz mgrctg α==(3)αθαmgrctg r r m V T L -+=-=)sin 1(212'22'2 将L 代入拉氏方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂0)(0)(''θθL L dt d r L r L dt d 可得质点运动微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==+-常量'222'''0cos sin sin θαααθm r g r r。