是否构成V
的
子空间.
解：因为对于W
中任意两元素
A
a
a
b
a
b
b ,
B
c
c
d
c
d
d
及其任意
实数 k ，都有
A
B
a
a
b
a
b
b
c
c
d
c
d
d
a
ac cb
d
a
c b
b d
d
W
kA
k
a
a
b
a
b
b
ka ka kb
ka kb kb
W
即
W
关于
加法和数乘封闭；又
W
中任
0 3
x1 x3
x2
x1 x2
x4
由矩阵相等的条件，得方程组
x1 x2
x1
x2 x3
x4
2 0 1 3
解得：
x1 1, x2 1, x3 1, x4 3 ，
故所求坐标为：
x (1,1, 1, 3) .
例
3：V
R22 ,W
是形如
a
a b
a
b
b
的
2
阶实方阵，检验W
2k1 k2 k3 2k1 k2 k3
0 0
k1 3k2 5k3 0
由于上面方程组的系数矩阵的秩为 3，故它只有零解 k1 k2 k3 0 ，因此，
A1, A2, A3 线性无关. 接下来证明W 的维数是 3.
容易证明，B1
1 0
0 0
，B2
0 0
1 0
，B3
0 0
0 1
1 1 2 1 x1
2 1
1
1
x2
0
1 0
1 1
0 1
3 7
x3 x4
(1, 4,3, 1)T
故
x1 x2
k
1 4
k 4k
从而V1 V2的元素可以表示为
x11+x22 k1 4k2 k(5, 2, 3, 4)T
因此，向量 (5, 2, 3, 4)T 为V1 V2的一个基 ，且 dim(V1 V2 )=1.
证明:首先证明 A1, A2, A3 线性无关.
利用定义，设有一组常数 k1, k2, k3 ，使得
k1A1 k2 A2 k3 A3 O
即
A1
1 k1 2
2 1
k2
2 1
1 3
k3
4 1
1 5
0 0
0 0
西安交通大学
线性代数与解析几何
典型例题
得齐次线性方程组
k1 2k2 4k3 0
(II)的解空间分别为 V1, V2. 试求V1 V2及V1+V2的基与维数.
解：V1 span{1,2}, V2 span{1,2},若 V1 V2 , 则存在数 x1, x2 , x3, x4
使得 得齐次线性方程组
=x11+x22 =x33 +x44
即 解得其基础解系为：
x11+x22 x33 x44 0
解：令 k1 f1(x) k2 f2 (x) k3 f3(x) k4 f4 x 0
则得：
(k1 2k2 k3 2k4 )x3 2k1 3k2 5k4 x2
(4k1 9k2 6k3 7k4 )x (k1 2k2 5k3 5k4 ) 0
因此
1
2
4
1
2 3 9 1
1 0 6 5
2 5 7
k1 k2 k3
0 0 0
.
5 k4 0
1 0 3 4
设该齐次线性方程组的系数矩阵为
A，则
A
初等行变换
0 0
1 0
2 0
1 ， 0
0
0
0
0
由此可知 f1(x), f2 (x) 是线性无关的，且是 f1(x), f2 (x), f3(x), f4 (x) 所生成子空间的
；
单位化过程：
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
(3, 2 ) (2 , 2 )
2
(1 , 2
1 ,0) 2
.
1
|
1 1
|
1
（
1 ，1 ，1 ）; 333
2
|
1 2
|
2
(
1, 6
1 , 6
2 ）; 6
3
|
1 3
|
3
(
1 , 2
1 ,0) 2
则1,2,3即为所求的标准正交向量组 .
例 4：设 B I3 2 T ，其中，
若 V1 V2 , 则 =1+2 ，其中 1 V1=span{1,2}1，2 V2 =span{1, 2} ，
因此 V1 V2 =span{1,2 ,1, 2} .故向量组 1,2 ,1, 2 的极大无关组的秩分别是
V1 V2 的 基 与 维 数 ， 通 过 计 算 可 得 ： 1,2 ,1 为 V1 V2 的 一 个 基 ， 所 以
基, 该子空间的维数为 2.
且
f3(x) 3 f1(x) 2 f2 (x); f4 (x) 4 f1(x) f2 (x).
例 3：已知齐次线性方程组(I) 的基础解系为1 (1, 2,1, 0)T ,2 (1, 2,1,1)T ,
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线性代数与解析几何
典型例题
齐次线性方程组(II)的基础解系为 1 (2, 1, 0,1)T ，2 (1, 1,3, 7)T ，方程组(I)和
(2 3
,1 3
,
2) 3
，证明：B 是正交矩阵.
解法一 分析：矩阵是正交矩阵的充要条件其列向量（行）是标准正交向量组.
证明：因为
2
4 2 4
3
9 9 9
T
1 3
2 3
1 3
2 3
2 9
1 9
2 9
2
4 2 4
3
9
9
9
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线性代数与解析几何
典型例题
那么
1 4 8
(I A)(I A) (I A)(I A)；于是有 (I A)1(I A)1 (I A)1(I A)1；
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线性代数与解析几何
典型例题
第 5 章 线性空间与欧氏空间
第一节 线性空间的基本概念
典型例题（A）
例 1: 检验下列集合对于给定的加法和数乘运算是否构成实数域 R 上的线性 空间：
(1)平面上不平行与某一固定向量的全部向量，关于通常的向量的加法及数 乘运算；
（2）全体 2 维实向量所组成的集合V ,关于通常的向量的加法及如下定义的 数乘运算： k (a,b) (ka,0) ；
例 2：
在
F 22
中，求
A
2 1
0 3
在基
A1
1
0
1 0
，
A2
1 0
1 0
，
A3
0 1
0 0
，
A4
0 0
0 1
下的坐标.
解：设所求的坐标为 x (x1, x2, x3, x4 )T ，
则有
A x1A1 x2 A2 x3 A3 x4 A4
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线性代数与解析几何
典型例题
即
2 1
（3）集合V 同（2），加法及数乘运算如下定义
(a1,b1) (a2 ,b2 ) (a1 a1) (b1 b2 a1a2 )
k
(a1 , b1 )
(ka1, kb1
k(k
1)a12 2
)
分析：判断一个集合是否是一个线性空间，首先要判断它对所定义加法和数
乘运算是否是封闭的，其次需要判断它是否满足 8 条运算规律.
意元素
A
a
a
b
a
b
b
可
以
写
成
：
a a
a 0
0 b
b b
1 a1
1 0
0 b1
1 1
a,b R
令矩阵
A1
1 1
10,
A2
0 1
11, A1, A2 W , 且A1, A2线性无关 ，故 A1, A2 为W 的一组
基，且 divW 2 ，因此W 是V 的子空间.
例
4 ： 设 1，2，3
是
R3
按此内积便成为一个欧氏空间.
例 2：设 e1,e,,en 是 n 维欧氏空间V 的一组基，证明：如果对于V 中任意两
个向量 a1e1 a2e2 anen , b1e1 b2e2 bnen ，都有
, a1b1 a2b2 anbn
(1)
则 e1,e,,en 是V 的标准正交基.
的
一
组
基
，
求
从
基
1,
1 2
2
,
1 3
3
到基
1 2,2 3,3 1 的过渡矩阵.
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线性代数与解析几何
典型例题
解
：设从
基
1
,
1 2
2
,
1 3
3
到
基
1 2,2 3,3 1
的
过
渡矩阵为
a11 a12 a13
A a21
a22
a23
，
a31 a32 a33
则
1 2 ,2 3,3 1
又
( T )2 ( T )( T ) T ( T )