知识要点三角形的等积变形我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。

但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。

比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。

同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等。

② 若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么ACD BCD S S ∆∆=；反之，如果ACD BCD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。

ACDB等底等高【例 1】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？EABDC【例 2】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。

HBD F【例 3】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？ABCEDF【例 4】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE ∆的面积为4平方厘米。

求三角形CDF 的面积。

FABCDE高相同，看底【例 5】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。

（1）求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？（2）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？DCBA【例 6】如图，三角形ABC中，2DC BD=，3CE AE=，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？ABEC D【例 7】如图，在三角形ABC中，8BC=厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？E FCBA【例 8】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。

求：三角形DEF 的面积。

D AEB FC【例 9】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE （图中阴影部分)的面积为8平方厘米。

平行四边形的面积是多少平方厘米？FEDCBA【例 10】 （2008陈省身杯国际青少年数学邀请赛五年级）如图,ABCE 是一个平行四边形，ADE 是一个直角三角形，它们组合成了梯形ABCD 。

如果这个梯形的上底、下底和高分别为2cm 、5cm和4cm ，则图中阴影部分的面积是 2cm 。

FB底相同，看高【例 11】 如图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米。

求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？CDEBA借助辅助线【例 12】 （北京市第四届“迎春杯”赛）如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？EDC BA【例 13】 如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E CBA【例 14】 ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则图中阴影部分的面积为＿＿＿平方厘米。

【例 15】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AMFEDCBAN【例 16】 如图所示，四边形ABCD 的面积是1平方厘米，AB AE =、BC BF =、DC CG =、AD DH =，求四边形EFGH 的面积。

HG FED C BA【例 17】 如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长为BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？GADBCE F【例 18】（07年迎春杯初赛试题）如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 面积是多少平方厘米？852O FEDCBA【例 19】 （第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分。

三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米。

已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米。

求梯形ABCD 的面积。

AB CD【例 20】如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN=。

那么，阴影部分的面积是多少？N【例 21】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？FEB【例 22】两个正方形如图排列，面积相差60，求阴影部分梯形面积。

A【例 23】（2005年浙江省小学数学竞赛）如图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，2EC BE=⨯,那么，图中阴影部分的面积是________平方厘米。

E D CB A【例 24】如图，正方形ABCD 的面积为1平方厘米，:2:1BEG CEG S S ∆∆=，:1:1CFG DFG S S ∆∆=，那么这四个小三角形面积之和________。

GFECABD【例 25】如图，3BE BC =,4CD AC =，那么，ABC ∆的面积是AED ∆面积的________倍。

CB【例 26】 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于E ，且AF CE =，BG DE =，如果四边形ABCD 面积是1，求EFG ∆的面积？DGABCE F其他【例 27】 （2009年3月15日第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第19题）如图，边长为4cm 的正方形将边长为3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于2_______cm 。

4cm3cm【例 28】如图，已知四边形的两条边的长度和三个角的角度，那么这个四边形的面积是多少？7345°【例 29】 （2009年12月20日第十届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级选拔赛第二（4）题）如图，甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是4厘米、6厘米、8厘米。

乙的一个顶点在甲的中心点上，丙的一个顶点在乙的中心点上，并且甲和丙没有交集。

这三个正方形的覆盖面积是多少？丙乙甲【例 30】下图正方形ABCD 边长是10厘米，长方形EFGH 的长为8厘米，宽为5厘米。

阴影部分甲与 阴影部分乙的面积差是_______平方厘米。

HGFEDC BA乙甲一课一练【练习1】 如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？OABCD【练习2】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（ ）平方厘米。

【练习3】 （2003年3月30日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第4题）如图，将一个三角形（有阴影的）的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的_______倍。

a ba ba【练习4】 如图，三角形ABC 的面积是36，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点。

求：三角形DEF的面积。

DAEBFC【练习5】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF ，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为10平方厘米。

平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米?【练习6】 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCB A补充【补充1】（2008陈省身杯国际青少年数学邀请赛五年级）如图,在三角形ABC中，CD的长是BD长的2倍，E是AC的中点，则三角形ABC的面积是三角形ADE面积的倍。

ED CBA【补充2】如图，把四边形ABCD改成一个与ABCD等积的三角形。

DCBA【补充3】如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。

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