【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法． 求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题．2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【精选名校模拟】1. 在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，⊥EC 底面ABCD ，F 为BE的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：AE BD ⊥；（Ⅲ）若2,ABCE在线段EO上是否存在点G，使⊥CG平面BDE？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．O FED C BA【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1.2 EGEO=2.如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，P A ⊥底面ABCD ，P A=AD=CD=2AB =2，M 为PC 的中点。

（1）求证：BM ∥平面P AD ；（2）在侧面P AD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； （3）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。

【答案】（1）见解析；（2）N 是AE 的中点；（3）32．试题解析：（1） M 是PC 的中点，取PD 的中点E ，则MECD 21，又AB CD 21∴四边形ABME 为平行四边形 ∴BM ∥EA ，PAD BM 平面⊄PAD EA 平面⊂∴BM ∥PAD 平面 （4分）（2）以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则())0,0,1B ，()0,2,2C ，()0,2,0D ，()2,0,0P ，()1,1,1M ，()1,1,0E3. 如图1，在ACB Rt ∆中，90C ∠=°，3=BC ，6=AC ，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且BC DE //，2=DE ，将ADE ∆沿DE 折起到DE A 1∆的位置，使CD C A ⊥1，如图2．（Ⅰ）求证：⊥C A 1平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是D A 1的中点，求CM 与平面BE A 1所成角的大小；（Ⅲ）点F 是线段BE 的靠近点E 的三等分点，点P 是线段F A 1上的点，直线l 过点B 且垂直于平面BCDE ，求点P 到直线l 的距离的最小值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒；（Ⅲ）点P 到直线l 的距离有最小值656512.试题解析：（Ⅰ）由题CD DE ⊥，DE D A ⊥1，D D A CD =1∴DE ⊥平面1ACD ，又1A C ⊂平面1ACD ， 1A C ⊥DE 又1AC CD ⊥， D CD DE = ∴1A C ⊥平面BCDE ．∴不妨取(123n =-，，又∵(103M -，， ∴(103CM =-，， ∴=><=|,cos |sin n CM θ2214313222CM n CM n⋅===++⋅+⋅⋅，∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒．zy xA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M4. 在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）设Q 为侧棱PC上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45.【答案】解法一：（Ⅱ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，…………………………………………7分(0,2,1)PC =-，PQ PC λ=，(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-， ………………………………………………………………8分 设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB =，(0,2,1)DQ λλ=-， 由0DB ⋅=n ，0DQ ⋅=n ，得法二：（Ⅰ）∵面PCD ⊥底面ABCD ，面PCD ∩底面ABCD =CD ，PD ⊂面PCD ，且PD ⊥CD ∴PD ⊥面ABCD ，………1分 又BC ⊂面ABCD ，∴BC ⊥PD ①…. .…..……2分 取CD 中点E ，学科网连结BE ，则BE ⊥CD ，且BE =1∵FQ //BC ，∴即PC PQ BC FQ =x BC PC PQ FQ 52=⨯= PCPQPB PF =x PB PC PQ PF 53=⨯=即 ∵FG //PD ∴即PB BFPD FG =x PD PB BF FG 511-=⨯=………………..…...……10分 在Rt △FGQ 中，∠FGQ =45° ∴FQ =FG ，即=x 52x 511-∴)12(5125-=+=x ……..….........……11分 ∵PQ PC λ= ∴5)12(5λ=- ∴12-=λ……..…............……12分5. 如图，已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为26P 是棱SC 的中点．（1）求直线AP 与平面SBC 所成角的正弦值； （2）求二面角B —SC —D 大小的余弦值；（3）在正方形ABCD 内是否存在一点Q ，使得PQ ⊥平面SDC ？若存在，求PQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线AP 与平面SBC 所成角的正弦值为27；（2）二面角B —SC —D 大小的余弦值为71-；（3）不存在满足条件的点Q.（1）336(,22AP =-，设平面SBC 的法向量1n =（x 1,y 1,z 1），则110,0n BC n SB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即111120,60,x x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，可取1n =（6 ,1），6. 如图1，已知O ⊙的直径4AB =，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠，60DAB ∠=，F 为弧BC 的中点．将O ⊙沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）． （Ⅰ）求证：//OF AC ；（Ⅱ）在弧BD 上是否存在点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角C -AD-B 的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）在弧BD 上存在点G ，使得//FG 平面ACD ，且点G 为弧BD 的中点；（Ⅲ）27;（3）根据，∠DAB =60°求出D 点坐标，然后求出平面ACD 的一个法向量，找出平面ADB 的一个法向量，利用两平面法向量所成角的余弦值求解二面角C -AD -B 的余弦值． 试题解析：（法一）：证明：（Ⅰ）如右图，连接CO ，45CAB ∠=，CO AB ∴⊥，又F 为弧BC 的中点，45FOB ∴∠=，//OF AC ∴．（Ⅲ）过O 作OE AD ⊥于E ，连CE ．因为CO AB ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，故CO ⊥平面ABD ．又因为AD ⊂平面ABD ，故CO AD ⊥，所以AD ⊥平面CEO ，AD CE ⊥， 则CEO ∠是二面角C -AD-B 的平面角，又60OAD ∠=，2OA =，故3OE = 由CO ⊥平面ABD ，OE ⊂平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形， 又2CO =，学科网故7CE =，可得cos CEO ∠3721，故二面角C -AD-B 27.（法二）：证明：（Ⅰ）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，作空间直角坐标系O xyz -，则()0,20A ,-，()002C ,,(0,0,2)(0,2,0)(0,2,2)AC =--=，点F 为弧BC 的中点，∴点F 的坐标为()0,22,，(0,2,2)OF =，22OF AC ∴=，即//OF AC ．7. 如图，在多面体ABCDE 中，DB ABC ⊥平面,//AE DB ,ABC ∆且是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为64（1）在线段DC 上是否存在一点F ，使得EF DBC ⊥面，若存在，求线段DF 的长度，若不存在，说明理由；（2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）存在F 为CD 中点，DF=2时，使得EF DBC ⊥面（Ⅱ）648. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点． （1）求证：1A B ∥平面1ADC ； （2）求二面角1C AD C --的余弦值；（3）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）二面角1C AD C --的余弦值为23；（3）当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角.由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥OD ，由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . 8分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （3）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤. 所以 (0,2,1)AE λ=-，1(1,0,1)DC =因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=.9.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，AC BD O =,PAC ∆是边长为2的等边三角形，6PB PD ==,4AP AF =.（Ⅰ）求证：PO ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）求直线CP 与平面BDF 所成角的大小；（Ⅲ）在线段PB 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面BDF ？如果存在，求BMBP的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）30；（Ⅲ）存在，BM BP =13试题解析：解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O =,（Ⅱ）由已知可得133(44OF OA AP =+= -----------------------------------------6分 设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即30,330.44x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则3z =，所以(1,0,3)=n .----------------------------------------8分因为1cos 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n ，----------------------------------------9分所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，10. 如图是一个直三棱柱被削去一部分后的几何体的直观图与三视图中的侧视图、俯视图.在直观图中，M 是BD的中点.又已知侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.(1)求证:EM∥平面ABC;(2)试问在棱DC上是否存在点N,使NM⊥平面BDE? 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.CN【答案】（1）详见解析；（2）存在，1【解析】11. 如图，在各棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥11ACC A 底面ABC ，︒=∠601AC A ． （1）求侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小；（2）已知点D 满足+=，在直线1AA 上是否存在点P ，使C AB DP 1//平面？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6;（2）存在点P，使CABDP1//平面.12. 如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA AB ⊥，//CD AB ，且24PA CD AB ===．将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P DC B --，连接PA PB 、，设PB 中点为E ．（1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段BD 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面PBC ？若存在，请确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）点F 存在，且为线段BD 上靠近点D 的一个四等分点；（3）66.（2）解法一：由（1）的分析易知，,,PD DA PD DC DC DA ⊥⊥⊥，则以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示．易知这样的点F 存在，且为线段BD 上靠近点D 的一个四等分点； （8分） 解法二：（略解）如图所示，（3）解法一：由（2）11(,,1)22EF =---是平面PBC 的一个法向量，又(0,2,0)AB =，则得6cos ,6||||EF AB EF AB EF AB ⋅<>==⋅⋅⋅=-，所以6,arccos 6EF AB π<>=-， 记直线AB 与平面PBC 所成角为θ，则知6sin |cos ,|6EF AB θ=<>=， 故所求角的正弦值为66. ..（12分）13. 四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析，（2）63AB =时，四棱锥的体积P-ABCD 最大. 平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值为10.5（2）求四棱锥体积，关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD=AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，下面用3n =表示高及底面积：设,AB m =，则2224,3DP PG OG m =-=-，故四棱锥P-ABCD 的体积为 2214686.333m V m m m =⋅⋅⋅-=-故当6m =时，即6AB =时，四棱锥的体积P-ABCD 最大.求二面角的余弦值，可利用空间向量求解，根据题意可建立空间坐标系，分别求出平面BPC 的法向量及 平面DPC 的法向量，再利用向量数量积求夹角余弦值即可.试题解析：（1）证明：ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD 平面PAD平面ABCD=AD 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，故AB ⊥PD14. （如图1）在平面四边形ACPE 中，D 为AC 中点，2AD DC PD ===，1AE =，且,AE AC PD AC ⊥⊥，现沿PD 折起使090ADC ∠=，得到立体图形（如图2），又B 为平面ADC 内一点，并且ABCD 为正方形，设F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点. （1）求三棱锥P GHF -的体积；（2）在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成角为060？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）112V =；（2）存在，52PM =.试题解析：（1）因为,F G 分别为,PB BE 的中点，所以//FG PE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊆平面PED ，所以//FG 平面PED ，同理：//FH 平面PED .（2）因为EA ⊥平面ABCD ，//EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以,PD AD PD CD ⊥⊥.又因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥.如图，建立空间直角坐标系，因为22AD PD EA ===，15. 如图，多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，正方形ADEF 的边长为2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB ＝2，CD ＝4． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）试在平面CDE 上确定点P ，使点P 到直线DC 、DE 的距离相等，且AP 与平面BEF 所成的角等于30°．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．（Ⅱ）利用,,DE DA DC 两两互相垂直建立空间直角坐标系，令(),,n x y z '''= 是平面BEF 的一个法向量，则由00n EF n Eb ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩求出向量(),,n x y z '''=的坐标，利用向量的夹角公式列方程求出点P 的坐标．试题解析：又因为EDBD D =所以BC ⊥ 平面BDE ． 5分 解法二：因为平面ADEF ⊥ 平面ABCD ,ED AB ⊥所以ED ⊥ 平面ABCD 1分 所以,,DE DA DC 两两互相垂直以点D 为原点，直线,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -（Ⅱ）因为平面ADEF ⊥ 平面ABCD ,ED AB ⊥ 所以ED ⊥ 平面ABCD所以,,DE DA DC 两两互相垂直以点D 为原点，直线,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -16. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060BAD ∠=，Q 是AD 的中点. （Ⅰ）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若平面APD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，试确定点M 的位置，使二面角M BQ C --的大小为060，并求出PMPC的值.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）13PM PC =. 【解析】试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考试题解析：（1）∵PA PD =，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥， 又 底面ABCD 为菱形，060BAD ∠=，∴BQ AD ⊥ , 又PQBQ Q =∴AD ⊥平面PQB ，又∵AD ⊂平面PAD,∴平面PQB ⊥平面PAD;（2） 平面PAD ⊥平面ABCD,平面PAD平面ABCD AD =,PQ AD ⊥∴PQ ⊥平面ABCD.以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图.17. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=．F 为PA 中点，2PD =，11.2AB AD CD===四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N ．（1）求证：AC// 平面DEF；（2）求二面角A BC P--的大小；（3）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6π？若存在，请求出FQ的长;若不存在，请说明理由．NFDCA BEP【答案】（1）详见解析；（2）.4π（3）在线段EF上存在一点Q，且19||||.2FQ EF==（3）首先假设存在点Q满足条件．由12(,0,),(0,2,2).22F E设(01)FQ FEλλ=≤≤，再利用向量的夹角公式确定λ的值．18. 如图，ABC ∆中，O 是BC 的中点，AB AC =，22AO OC ==．将BAO ∆沿AO 折起，使B 点与图中B '点重合．（Ⅰ）求证：OC B AO '⊥平面；（Ⅱ）当三棱锥AOC B -'的体积取最大时，求二面角O C B A -'-的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段A B '上是否存在一点P ，使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为32？证明你的结论．（Ⅱ）在平面B OC '内，作B D OC '⊥于点D ，则由（1）及已知可得当D 与O 重合时，三棱锥B AOC '-的体积最大，并过O 点作OH B C '⊥于点H ，连AH ，则AHC ∠为.A B C O '--二面角的平面角 在AHC Rt ∆中，易得AHC ∠cos 的值，即为所求；（Ⅲ）根据图形及已知条件分析可得，存在线段A B '上中点P ，使CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为32，求出平面B OA '的法向量(0,1,0)n =，根据CP 与平面B OA '所成的角的正弦值为32建立等式关系，即可求得结论.AO B OC '⊥平面，B C B OC B C AO '''⊆∴⊥又平面， AO OH O B C AOH B C AH ''=∴⊥∴⊥，平面，AHO ∴∠即为.A B C O '--二面角的平面角 232222AOH Rt AO OH AH ∆==∴=中，，，，1cos 3OH AHO AH ∴∠==1A B C O --故二面角的余弦值为1319. 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝8，BC ＝6，AB ＝2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（Ⅰ）当2BE =，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP PD λ=，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）设BE ＝x ，问当x 为何值时，三棱锥A -CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值．ABC DEFEFABCD【答案】（1）存在P 点，2=λ；（2）当4=x 时，三棱锥CDF A -的最大值316. 又M PM CM =∴平面ABEF ∥平面PCM 6分 又∵PCM PC 平面⊂（Ⅱ）因为平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC ＝EF ，又AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面EFDC 10分由已知BE ＝x ，所以AF ＝x （06x <<），则FD ＝8-x ． ∴112(8)32A CDF V x x -=⋅⋅⋅-⋅ 12分 故21118162(8)()32323A CDFx x V x x --+=⋅⋅⋅-⋅≤= 当且仅当8x x -=，即x ＝4时，等号成立 所以，当x ＝4时，A CDF V -有最大值，最大值为16314分20. 已知∠ACB ＝45°，B 、C 为定点且BC ＝3，A 为动点，作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，如图1。