L2
而 di ，di1 1 ， di2 2
dt L dt L1 dt L2
L1
由以上各式得
1 1 1 L L1 L2
21
22
于是有
1 11 12 ， 2 21 22 I
对于两个线圈组成的系统,
其磁通量为
1
L1 Ψ11 M
Ψ12 I I
a 2r

0 I ln D a

a
那么这两条输电线单位长度的自感为
L1

I

0
ln
D a
a
19
10.19 两个平面线圈，圆心重合地放在一起，但轴线 正交. 二者的自感系数分别为L1和L2，以L表示二者 相连结时的等效自感，试证明：
(1) 两线圈串联时，L＝L1+L2；
L2
(2) 两线圈并联时，1 1 1
v
I
左 右 L
左－ 右 ＝N（B左－B右）lv

N

0I 2d

0I 2 (d

a)
lv
da
2 10 3 (V )
15
10.9 一种用小线圈测磁场的方法如下：做一个小线 圈，匝数为N，面积为S，将它的两端与一测电量的 冲击电流计相连. 它和电流计线路的总电阻为R. 先把 它放到被测磁场处，并使线圈平面与磁场方向垂直, 然后急速地把它移到磁场外面，这时电流计给出通 过的电量是q. 试用N、S、q、R表示待测磁场的大小.
23
4
产生的通过另一线圈的磁通量的方向和 图1
另一线圈自身产生的磁通量方向相同.
当电流I变化时(例如I增加)，两个线圈产生的感生电动
势方向相同,都与电流方向相反.
于是有 I I1 I 2
又 1 11 12 ， 2 22 21
11

L
dI1 dt
， 12
示 势，. 设并磁指场出在哪增端强电，势并高dB且d. t 已知，求棒中的感生电动
解:
方法一
利用公式
i


d dt
连接oa、ob，设回路aoba的面积为S.
则回路中的感生电动势为
oR
a
b
i


d dt

S
dB dt
L
又 S 1 hL 1 L R2 L2 1 L 4R2 L2
L L1 L2
L1
证明： 因为两线圈正交，故各自的B线不会在 另一线圈产生磁通量，故不存在互感电动势.
(1)两线圈串联时， 1 2 ，i i1 i2
而
L di
dt
，1

L1
di1 dt
，2

L2
di2 dt
由以上各式得 L＝L1+L2
20
(2) 两线圈并联时， 1 2 ，i i1 i2
dt
Nb dt Nb dt
3.110 6 (Wb / s)
(3)据法拉第电磁感应定律可得线圈b的感生电动势为
b
Nb
d b dt
3.110 4
(V )
11
10.15 半径为2.0cm的螺线管，长30.0cm，上面均匀密绕 1200匝线圈，线圈内为空气. (1) 求这螺线管中自感多大？
据动生电动势公式可得这一导线元段产
x
x
dx
生的动生电动势为
d
(v B) dl
vBdx v 0 I dx
2x
积分得
ab
dl v 0 I dx d 2x
0 Iv ln d l 2 d
1.110 5
(V )
负号表示动生电动势的方向是由b指向a，故a端电势高.
方法二:利用法拉第电磁感应定律公式
如图所示，建立x轴.
在导线段上坐标为x处取一长为dx的导 线元段.
设在dt时间内导线段从a´b´位置平移到 ab位置，则导线元段扫过的面积为dS.
dS
a
b
v vdt
a´ b´
l
d
x
x dx
dS=vdt·dx 设面积元的正方向为垂直于屏幕向内
那么在dt时间内导线段ab扫过的面积的磁通量为
13
10.23 可能利用超导线圈中的持续大电流的磁场储存 能量. 要储存1kW·h的能量，利用1.0T的磁场，需要 多大体积的磁场？若利用线圈中的500A的电流储存上 述能量，则该线圈的自感系数应多大？
解： 所需要磁场的体积为
V Wm 20Wm 9.0 (m3 )
wm
B2
若利用线圈中的500A的电流储存上述能量，则该线
dt
12
10.22 实验室中一般可获得强磁场约为2.0T，强电场约 为1×106V/m. 求相应的磁场能量密度和电场能量密度 多大？哪种场更有利于储存能量？
解：相应的磁场能量密度和电场能量密度分别为
wm

B2
20
1.6 106
(J / m3)
we

0E2
2
4.4 (J / m3 )
由以上结果可知，磁场更有利于储存能量
电流一去一回. 若忽略导线内的磁场，证明这两条输
电线单位长度的自感为
aD
L1

0
ln
D a
a
S
证明：两条平行的输电线一去一回构成一长窄条
回路，可以引入单位长度的自感的概念. 当电线中
通有电流I时，通过导线间单位长度的面积S的磁
通量为
Da
2 B1 1dr
a

Da
2
0I
dr
电磁感应 习题、例题分析
+
10.1 在通有电流I =5A的长直导线近旁有一导线段ab， 长l=20cm，离长直导线距离d=10cm. 当它沿平行于长 直导线的方向以速度v=10m/s平移时，导线段中的感应 电动势多大？？a，b哪端电势高？
解：方法一:利用动生电动势公式
v
如图所示，建立x轴.
ab
l
在导线段上坐标为x处取一长为dx的导线元段 d
(2)如果在螺线管中电流以3.0×102A/s的速率改变，在 线圈中产生的自感电动势多大？
解： (1)由公式得这螺线管中的自感为
L

0n 2V

0
N2 l
R 2

7.6 10 3
(H )
(2)如果在螺线管中电流以3.0×102A/s的速率改变，在
线圈中产生的自感电动势大小为
L di 2.3 (V )
d
B dS
dl 0 Iv dxdt
0 Iv ln d l dt
S
d 2x
2 d
据法拉第电磁感应定律得
d 0 Iv ln d l 1.110 5 (V )
dt
2
d
负号表示动生电动势的方向是由b指向a，故a端电势高.
10.4 如图所示，矩形线圈共1×103匝，宽a=10cm，长
i

N
S
B t
dS

d a
N
d
0 2x
di dt
Ldx
N 0 5100 cos100tLln d a
2
d
4.4 102 cos100t (V )
i
L
da
x
0
5
10.5 在半径为R的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B
的均匀磁场. 有一长为L的金属棒放在磁场中，如图所
圈的自感系数应为
L 2Wm 29 (H ) I2
14
10.3 如图所示，长直导线中通有电流I=5A，另一矩形 线圈共1×103匝，宽a=10cm，长L=20cm，以v=2m/s 的速度向右平动. 求当d=10cm时线圈中的感应电动势.
解：线圈在向右平动时，左、右两边产生 动生电动势，而上、下两边不产生动生电 动势. 因此线圈中的感应电动势为
a
b
L
7

方法二 利用公式 i Ei dl
L
由课本P328例题10.2的结果可知圆柱
形体积内的感生电场为
Ei

r 2
dB dt
eˆ
(r R)
R
eˆ
o
rdl h
a θ b
L Ei
其中 eˆ 的方向与磁场B的方向满足右手螺旋关系
在金属棒上取一微元段
dl
，如图所示.
那么在这微元段 dl 上的感生电动势为
d i

Ei
dl

r 2

dB dt
eˆ

dl


r

dB
dl
cos(
2 dt
)

r dB cosdl
2 dt
h dB dl
2 dt
积分得
ab

L 0
h 2

dB dl dt
hL dB 2 dt
1L 4
解：线圈移动时通过冲击电流计的总电量为
q
t
idt

t

dt

t
1 ( d )dt
0 1d
0
0R
0R
dt
R
NBS RR
故待测磁场的大小为 B qR
NS
16
10.11 电磁阻尼. 一金属圆盘，
电阻率为ρ，厚度为b. 在转
动过程中，在离转轴r处面积为 a2的小方块内加以垂直于圆盘 的磁场B，如图所示. 试导出当