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第二代小波的基本思想
Mallat算法
通过低频滤波器和高频滤波器与信号进行卷积得 到低频子带和高频子带
提升算法
剖分(split)
➢ 将信号分成奇样本和偶样本序列，形成两个不 相交的子集
预测(predict)
➢ 利用相邻信号之间的相关性，用一个子集预测 另一个子集。通常用偶子集来预测奇子集，通 过与原奇子集的差值，确定细节信息
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小波包的重构
小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析
提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解的原始信
号S表示为
S = P11 + P35 + P36 + P24
S
P11
P12
P21
P31
P32
P22
P23
P24
P34
P35
P36
P37
P38
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□ 离散小波变换只是对近似信号进行再分解，而没有对 细节信号进行再分解，因此没有提高细节信号的频率 分辨率。
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小波包的分解
□ 小波包理论是在多尺度分析和Mallat算法基础上发展 起来的。
□ 小波包分析同时分解细节信号和近似信号
S
P11
P12
P21
P22
P23
P24
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小波包---应用2 轴承内圈故障
最高分析频率f = fs /2 = 20/2 = 10 KHz 每个小波包的频率带宽为 d = f /32 =312.5 Hz 频谱图中的频率范围6000~8000 Hz 对应的小波包频宽范围6000/312.5 ~ 8000/312.5 Hz。即为 18~26
2) 预测.设P(·)为预测器，用s e ( k ) 预测 s o ( k ) ,定义预测偏差 为细节信号 d ( k ) d (k ) s o (k ) P [s e (k )]。k Z
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第二代小波变换
Se
S 剖分
－P U
So
P(•)
c
c d
d
Se
－U
P
重构 S
第二代小波方法相对于传统小波算法而言，是一种更 为快速有效的小波变换实现方法，它不依赖Fourier变 换，完全在时域完成了对双正交小波滤波器的构造。 这种构造方法在结构化设计和自适应构造方面的突出 优点弥补了传统频域构造方法的不足。
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第二代小波与第一代小波的比较
0
对细节信号更新
20
40
60
80
100
120
偶 样 本 +更 新 =逼 近 信 号
20
40
60
80
100
120
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第一代小波与第二代小波对比
原始信号
原始信号
2
2
0
0
-2
-2
0
20
40
60
80 100 120 0
20 40 60 80 100 120
第 一 代 db8小 波 分 解 细 节 信 号
段引入了预测器和更新器的概念。
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第二代小波变换
Se
c
S 剖分
－P
So
U d P(•)
设数据序列 S{s(k),kZ}
1 第二代小波变换的分解过程如下:
1) 剖分.将数据序列 {s(k),kZ}分为奇样本序列和偶样本序
se(k)s(2k) k Z
so(k)s(2 k 1 ) k Z
3500~5500 Hz 对应的小波包频宽范围
3500/312.5 ~ 5500/312.5 Hz 即为 11~18号小波包
时域振动信号 频域图
第5层小波包分解
16号小波包重构
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一个周期内约有7 个冲击，与理论 分析相符，说明 小波包分解有效
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小波包Байду номын сангаас--小结
小波包分解能够对每一层分解后得到的高频信号进 行再分解，提高了信号高频部分的多尺度分析能力，弥 补了小波分解的不足 小波包分解保留了信号在各个不同频率段的成分， 因此小波包分解后，信号的信息量是完整的 采用小波包分解能够提取信号中有用的频率成分， 因此可以有效地用于信号的特征提取
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第二代小波---构造方法
1、Haar小波
2、db4小波
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第二代小波---构造方法
3、以双正交小波CDF(2,2)
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第二代小波变换
假设预测器长度N=2 ，更新器长度N’=4，基于插值细 分
（1）在构造方法上，第二代小波变换采用提升方法， 而第一代小波的构造是从滤波器组的频域特性要求 出发，构造不同特性的小波。
（2）在多分辨分析方面，第二代小波变换的小波空间和 尺度空间不再是由一个基函数通过伸缩和平移而得 到的，因此，一般情况下，多分辨空间不具备伸缩 和平移不变性。而第一代小波变换的多分辨空间是 由一个固定的基函数经过伸缩和平移构成的。
重构公式：
P ji(t)H * P j2 i1 1 (t) G * P j2 i1 (t)
H*、 G*分别为H和G的对偶算子，也为H 和 G的共轭转置矩阵
重构过程：
✓ 设原始信号经过J层小波包分解后得到 2j 个小波包 ✓ 如果要重构第2 i 个小波包的数据，把这一层中其他小波包的
数据置零。 ✓ 将处理后的数据代入重构公式，一层一层向上进行重构
预测---用偶样本预测奇样本
用偶样本预测奇样本 3
2
1
0
-1
-2
-3
0
20
40
60
80
100
120
奇 样 本 -预 测 值 =细 节 3
2
1
0
-1
-2
-3
0
20
40
60
80
100
120
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更新---偶样本更新得到逼近信号
1 0.5
0 -0.5
-1 -1.5
0
3 2 1 0 -1 -2 -3
小波包分析与第二代小波
阳建宏
北京科技大学
2020/8/18
主要内容
小波包分析 第二代小波 Matlab在小波分析中的应用
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离散小波的分解
□ 如果S表示原始的输入信号， DWT的概念是通过两 个互补的滤波器（高频和低频）产生A和D两个信号
双通道滤波过程
A：信号的近似值 原始信号通过低频滤波器产 生，表示信号的低频分量
原理的第二代小波分解过程如下
原始信号 剖分 预测
细节信号 更新
逼近信号
x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9)
xe[1] xo[1] xe[2] xo[2] xe[3] xo[3] xe[4] xo[4] xe[5] -p1 1 -p2 -p1 1 -p2 -p1 1 -p2 -p1 1 -p2
So
3) 更新.设U(·)为更新器,在细节d ( k )的基础上更新 S e ( k )
其结果定义为逼近信号
c (k ) s e (k ) U [d (k )]k Z 2 重构过程为分解过程的逆过程，由恢复更新、恢复预
测和合并组成。
s e (k ) c (k ) U [d (k )]k Z
s o (k ) d (k ) P [s e (k )]k Z
更新(update)
➢ 细节信息通过更新，再与原偶子集相加来确定 近似信息
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第二代小波变换
Se
cc
Se
S 剖分
－P U
－U P
重构 S
So
第二代小波分解过程
So dd
第二代小波的重构过程
分解过程包括：剖分、预测和更新； 重构过程包括: 恢复更新、恢复预测和合并； 其中在预测、更新、恢复更新、恢复预测四个阶
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小波包---应用1
电机振动信号，采样频率5120Hz
电机转速频率 电机转速频率的四倍频
第5层小波包分解
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小波包---应用1
最高分析频率f = fs /2 = 2560 Hz 每个小波包的频率带宽为 d = f /32 = 80Hz
电机转速频率50Hz∈[0 80]，即为0号小波包 电机转速频率的四倍频200Hz ∈[160 240]，即2号小波包
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第二代小波与第一代小波的比较
(3)第一代小波变换的小波函数和尺度函数的特性在构造 完成之后，它们的特性不再改变，而第二代小波变换 可以通过提升改善小波的特性。
(4)在小波种类上，第一代小波的种类是有限的，而第二 代小波在理论上可以任意构造小波.
(5)第一代小波变换是以频域为基础进行的，而第二代小 波变换是一种时域方法，但可以获得与第一代小波 变换相同的时频特性。
d[1] u1
d[2] u2 1
d[3]
d[4]
u3
u4
s[1]
s[2]