一、基本概念（35分）
1.解释齿轮的瞬心线？
如图示，假设O 1和O 2是平面啮合时用来传递运动的两平行轴，从1O 轴向2O 轴传递回转运动，在垂直于轴线1O 和2O 的平面内，构件1和2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动，这两条相互滚动的共轭曲线就是瞬心线。
2.解释齿轮的瞬时回转轴？
答：两齿轮在空间任意点M 处的相对运动速度v 12
，由式
v v r w r w v
2010221112
-+⨯-⨯=可以证明，空间上任意一点处的v 12
是和这个点绕某
个定轴作一定的螺旋运动时形成的线速度相同的。
轴线k 称为瞬时回转轴，简称瞬时轴。
3.解释齿轮的瞬轴面？
答：让瞬时回转轴k 绕两个齿轮的轴线回转，可以得到两个双曲回转面P1及P2，它们称为两齿轮的瞬轴面。
则P1和P2在k 轴处是相切的，当它们在切线处的相对运动速度v 12
=0，两瞬轴面作纯滚动。
反之，它们会产生相对的的滑动。
4.解释共轭齿形？
答：齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或者共轭齿形。
则得到，共轭齿形的公法线一定通过该瞬时的瞬心点P 。
5.解释啮合面？
答：配对曲面∑1和∑2在每一瞬时彼此沿一条线相接触，该线称作瞬时接触线。
啮合面是表示在与机架刚性固接的固定坐标系f S 中的瞬时接触线族。
啮合面用下列方程表
示：()(),,,,0f
f u f u r r θφθφ==。
式中：11
f
f M r r =
，这里4×4矩阵1
f M
描述从1S 到f S 的坐标
变换。
6.解释齿廓渐屈线？
答：一条曲线的渐近线是该曲线的曲率中心的轨迹，也是原曲线的法线族的包络。
如图示，图中原曲线为渐开线，1M 、2M 、3M 为渐开线
上的点，1N 、2N 、3N 分别为1M 、2M 、3M 对应的曲率中心，则由无数个曲率中心组成的曲线就是渐曲线。
7.写出Euler 的方程式？
答：Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，Euler 方程表达式为：
22I II cos sin n K K q K q =+
式中q 是由矢量MN
和单位矢量I e
构成的夹角。
矢量MN 表示在曲面的切面上选取的方
向，而n K 是曲面在这个方向上的法曲率。
单位矢量I e 和II e
沿着两个主方向，而I K 和II
K 是主曲率。
二、采用数学软件推导微分的方法（15分）
答：1.确定微分方程的类型。
2.确定所求是解析解还是数值解。
Matlab 软件求解微分方程解析解的命令dsolve()；求解微分方程数值解的方法：(1)欧拉公式；(2)龙格-库塔法。
求通解的命令格式：dsolve('微分方程'，'自变量')
求特解的命令格式：dsolve('微分方程'，'初始条件'，'自变量') 微分方程组命令格式：dsolve('微分方程1，微分方程组2') 3.采用软件提供的合适的算法求解。
三、推导方程（每题10分, 共计20分） 1. 坐标系
和
刚性固接到齿轮1和齿轮2，两齿轮传递平行轴之间
的回转运动（图1）。
齿轮的两回转角和 用方程:
联系着，式中和是两瞬线的半径。
E 是两转动轴线之间的最短距离。
固定坐标系 刚性固接到齿轮箱体上。
是辅助坐标系，它也刚性固接到齿轮箱体上。
图1
推导：
1) 从S 2到S 1的坐标变换方程。
2) 从S 1到S 2的坐标变换方程。
解: 1) 从2S 到1S 的坐标变换基于矩阵方程
112122f fp p r M M M M r ==
（1）
式中1f M 和2p M 是转动矩阵，而fp M 是移动矩阵。
这里
22221x y r z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22
22
2cos sin 00sin cos 0000100
001p M φφφφ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
11111x y r z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11111cos sin 00sin cos 0000100
00
1f M φφφφ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2） 100001000100
01fp E M ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
从方程（1）可导出
121
21
1212
112cos()sin()0sin sin()cos()0cos 00100001E E M φφφφφφφφφφ
++⎡⎤⎢⎥-++⎢
⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣
⎦
(3) 利用方程（2）和（3），我们得到
1212
2
12
c o s
()s i n ()
s i n x x y
E φφφφφ
=++++ 1212
2
12
s i n ()c o s ()
c o s
y x y
E φφφφφ=-+++
+ 12z z =
2）逆矩阵12112M M -=可以通过12M 的各元素表达如下
1212
2
1212
221cos()sin()0sin sin()cos()
0cos 00100001
E E M φφφφφ
φφφφφ+-+⎡⎤⎢⎥++-⎢
⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣
⎦
逆坐标变换基于矩阵方程
2211r M r =
从该方程可推导出：
2112
1
1
2
c o s ()s i n ()s i n
x x y
E φφ
φφφ=+-++
211211221
()cos()cos y x sin y E z z φφφφφ=+++-=
2. 坐标系
,
和
分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图2）。
齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程
（
）
表示在 中。
这里，a 是齿形角（压力角）；u 是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置（对于点M ，
；对于点，
）。
瞬时回转中心为 。
齿轮的
瞬心线是半径为r 的圆，而齿条刀具的瞬心线与 轴重合（图2）。
齿条刀具的位移 和齿轮的转角 有如下关系式
图2
求： 1）推导啮合方程。
2）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合线方程。
3）导出被加工齿轮的齿形方程。
解： 1）有方程
1
11111
0x y Y y X x N N ---= （1） 其中 I 在1S 中的坐标是（1X ，1Y ）=（r φ，0） (2)
[]11
1
111cos sin 0T
T
x y z N N N N T k α
α
⎡⎤==⨯=-⎣⎦
(3)
式中T 和1N
是产形齿形的切线矢量和法线矢量，1k 是1z 轴的单位矢量。
从方程（1）～（3）可以推导出啮合方程为：
(,
)s i n 0f u u r φφα=-= 2）啮合线用方程
11f f r M r =
(,
)s i n 0f u u r φφα=-= (4) 来表示。
所以有，
sin f x u r αφ=- c o s f y u r
α=+ s i n 0u r φα-= （5） 从方程（5）可以推导出：
2cos f x r φα=- s i n c o s f y r r φ
αα=+ 啮合线是通过I 的一条直线，并且与f x 轴构成夹角（πα-）。
3）被加工的齿轮的齿形用下列方程表示
221121f f
r M r M M r ==
(6) (,)s i n 0f u u r φφα=-= （7）
式中 21cos sin (cos sin )sin cos (sin cos )001r M r φφφφφφφφφφ-+⎡⎤
⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（8）
这里，矩阵方程（6）描述从1S 到2S 的坐标转换；方程（7）是啮合方程。
方程（6）～（8）可以导出被加工齿轮齿形的下列表达式
2s i n
()(s i n c o s )
x u r φαφφφ=++- 2c o s
()(c o s s i n )
y u r φαφφφ=+++ sin 0u r φα-=
四、综述及分析？（15分）
采用齿轮啮合原理的基本理论和方法，结合工程实际或列举实例，综合、分析齿轮啮合原理的应用及说明其意义。
五、学习心得体会？（15分） 学习本门课程的详细收获及体会。