硕士学位课程考试试卷考试科目：齿轮啮合原理考生姓名：考生学号：学院：专业：机械设计及理论考生成绩：任课老师(签名)考试日期：2013 年6月日午时至时一、 基本概念（每题3分，共计24分） 1．解释齿轮的瞬心线？答：对于作平面运动的两个构件1和2，瞬心线是瞬时回转中心在坐标系i S (i=1,2)中的轨迹。

当坐标系i S 绕i O 转动时，瞬时回转中心I 就会描绘出瞬心线。

当齿轮传动比为常数时，瞬心I 保持在1O 2O 上的位置，瞬心线是半径分别为12ρρ和的两圆。

当齿轮传动比不是常数时，瞬心在回转运动传递过程中沿1O 2O 移动，瞬心线是非圆形曲线，呈封闭的或者不封闭的。

当一个构件回转运动时，另一个构件直移运动时，瞬心线是一个圆和与圆相切的直线。

2．解释平面曲线的曲率？答：如图1所示，用s 表示曲线的弧长。

考察曲线上分别与s 和s s +∆对应的两个相邻的点M 和N ，如图1(a)所示，点M 和N 之间的弧长s ∆，而α∆是点M 和N处的两条切线之间的夹角。

当点N 趋近于点M 时，比值sα∆∆的极限称为曲线在点M处的曲率（标记为K ）。

将K 取倒数得1K 称为曲线在点M 处的曲率半径（标记为c ρ）。

这里的c ρ是极限（密切）圆的半径，而极限圆是当两个相邻点N 和'N 趋近于点M 时通过点M 和该两个相邻点画出来的，如图1(b)所示。

我们把圆心C 称为曲率中心。

图1 平面曲线的曲率3．解释齿廓渐屈线？答：齿廓渐屈线是给定齿廓曲线 曲率中心的轨迹，同时也是给定齿廓 曲线密切圆圆心的轨迹，如图2所示。

从图上可以看出，齿廓曲线上每一点 的法线都是和其渐屈线相切的，换句 话说，齿廓渐屈线是齿廓曲线法线的 包络。

图2 齿廓渐屈线4．解释齿轮的瞬时回转轴？答：如果回转运动在两个相交轴之间传递，如图3所示，两齿轮朝相反的方向转动。

其中，Oa 与Ob 分别表示回转运动的回转轴线，两齿轮朝相反的方向转动。

图3 两相交轴之间的回转运动图上(1)ωu v 、(2)ωu v 分别表示齿轮1和齿轮2的角速度。

由于两齿轮发生相对运动过程中可以形成瞬时接触线OI 。

那么，我们就将齿轮1对齿轮2（或者齿轮2对齿轮1）相对运动中角速度(12)ωu v 的作用线OI 叫做瞬时回转轴。

5．解释齿轮的瞬轴面？答：对于回转运动在相交轴之间传递，如图4所示，瞬轴面是瞬时回转轴在与回转齿轮i 刚性固接的动参考标架i S （i =1,2）中的轨迹。

在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为1γ和2γ的圆锥，如图4所示。

这两个圆锥叫做节锥，它们的切触线是OI ，并且其相对运动是纯滚动。

图4 相交轴之间的回转运动对于回转运动在交错轴之间传递，如图5所示，两个构件分别以角速度(1)ω和(2)ω绕两个相错轴转动，转动轴线构成相错角γ，两轴线之间的最短距离为E 。

当构件1和2转动时，螺旋运动的瞬时轴线s —s 在参考标架1和2中将形成两个曲面——回转双曲面。

这样的曲面是在两相错轴之间传递回转运动情况下的瞬轴面,此时的瞬轴面定义为螺旋运动瞬时轴线在坐标系i S （i =1,2）中形成的轨迹。

图5 交错轴之间回转运动6．解释共轭齿形？答：如图6所示，Ⅰ、Ⅱ是两齿轮的瞬心线，1、2是相应的一对齿形。

当两齿轮进行传动的过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，而两齿形则时时保持相切接触（有相对滑动）。

我们把这样的两个齿形叫做互相共轭的齿形，也就是共轭齿形。

图6 共轭齿形7．解释啮合面？答：配对曲面1∑和2∑在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，我们就把该线称作瞬时接触线或者特征线，如图8所示。

齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数φ。

那么，有了瞬时接触线的定义，我们就可以得到啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系fS 中的瞬时接触线族。

图8 齿面上的瞬时接触线8．写出Euler 的方程式？答：Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为 22cos sin n K K q K q =+ⅠⅡ式中q 是由矢量MN u u u u r 和单位矢量e u rⅠ构成的夹角，如图9所示。

矢量MN u u u u r 表示在曲面的切面上选取的方向，而n K 是曲面在这个方向上的法曲率。

单位矢量e u r Ⅰ和e u u rⅡ沿着两个主方向，而K Ⅰ和K Ⅱ是主曲率。

图9 矢量r n •u u r和r v u r的分解图二、 分析曲线和曲面（21分）要求：采用微分几何理论及数学软件的方法；1）举实例对曲线进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。

问题：已知某物体在XOY 平面内运动，其运动过程满足微分方程2,[0,2](0)1dy x y x dxy y ⎧=-∈⎪⎨⎪=⎩，试运用微分几何理论及数学软件求解该物体的轨迹曲线，并作图。

分析：由于该问题为常微分方程初值问题，对于该问题可以运用多种数值方法求解。

在这里，我运用了数值分析中求解该问题常用的四阶R-K 方法编程求解。

求解过程如下：编制求解该问题的M 文件并存入zuoye1.m ，M 文件编程如图10所示。

图10 M 文件程序运行该M 文件，得到该物体在平面XOY 内的运动轨迹曲线如图11所示。

图11 物体运动轨迹图2）举实例对曲面进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。

问题：已知某曲面在三维坐标系OXYZ 内的方程为22()x y z ye -+=，运用数学软件建立坐标系，生成该曲面的三维图。

分析：对于该问题，我运用的是MA TLAB 软件编程，再利用软件中的绘图命令生成三维图，求解过程如下：编制生成曲面的M文件并存入作业2.m程序中，如图12所示。

图12 生成曲面程序运行该M文件，得到曲面图如图13所示。

图13 曲面生成图三、推导方程（1题8分，2题12分，共计20分）1. 坐标系和刚性固接到齿轮1和齿轮2，两齿轮传递平行轴之间的回转运动（图14）。

齿轮的两回转角和用方程:联系着，式中和是两瞬线的半径。

E 是两转动轴线之间的最短距离。

固定坐标系 刚性固接到齿轮箱体上。

是辅助坐标系，它也刚性固接到齿轮箱体上。

图14推导：1) 从S 2到S 1的坐标变换方程。

2) 从S 1到S 2的坐标变换方程。

解：1) 由于2222=1x y r z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦v ，1111=1x y r z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦v ，转动矩阵22222cos sin 00sin cos 0000100001p M φφφφ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，转动矩阵11111cos sin 00sin cos 0000100001f M φφφφ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，转动矩阵100001000100001fp E M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 那么，我们可以从公式1212122=f fp p r M r M M M r =v v v（1） 推导出矩阵12M 的表达式，推导结果如下：121211212112cos()sin()0sin sin()cos()0cos 00100001E E M φφφφφφφφφφ++⎡⎤⎢⎥-++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2） 再利用（1）（2）式，可以得到从S 2到S 1的坐标变换方程211211222112112221cos()sin()sin sin ()cos()cos x x y E y x y E z z φφφφφφφφφφ=+-++⎧⎪=++++⎨⎪=⎩ 2) 由于12112M M -=，故对12M 求其逆矩阵得121211212112112cos()sin()0sin sin()cos()0cos 0010001E E M M φφφφφφφφφφ-+-+⎡⎤⎢⎥++-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦而逆坐标变换基于矩阵方程为2121r M r =v v则推导出从S 1到S 2的坐标变换方程为211211222112112221cos()sin()sin sin ()cos()cos x x y E y x y E z z φφφφφφφφφφ=+-++⎧⎪=++++⎨⎪=⎩ 2. 坐标系,和 分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图15）。

齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程（）表示在 中。

这里，a 是齿形角（压力角）；u 是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置（对于点M ，；对于点，）。

瞬时回转中心为 。

齿轮的瞬心线是半径为r 的圆，而齿条刀具的瞬心线与 轴重合（图15）。

齿条刀具的位移 和齿轮的转角 有如下关系式图15求： 1）推导啮合方程。

2）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合线方程。

3）导出被加工齿轮的齿形方程。

4）确定齿条刀具的极限安装位置，这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切，并作图说明。

解：1) 由《齿轮几何学与应用理论》可得下面两个表达式1111110x y X x Y y N N ---=，[]111cos sin 0T N T k αα=⨯=-u u v u v u v其中，11,0X r Y φ==表示在1S 中的I 的坐标。

1T u v 和1N u u v是产生齿形的切线矢量和法线矢量，1k u v是1z 轴的单位矢量。

由上述方程可以推导出啮合方程的表达式 (,)sin 0f r μφμφα=-=2) 关于啮合线，查《齿轮几何学与应用理论》得到下面的方程：11(,)sin 0f f r M r f r μφμφα==-=v v由这两个方程可以得到 sin cos sin 0f f x r y r r μαφμαμφα=-⎧⎪=+⎨⎪-=⎩求解方程组得2cos sin cos f f x r y r r φαφαα=-=+啮合线LK （图16）是通过I 的一条直线，并且与f x 轴构成夹角πα（-）。

线段IK 上各个点对应于0φ≥；线段IL 上的各个点对应于0φ≤。

图16 啮合线3) 从1S 到2S 的坐标变换方程表示为2121211=f f r M r M M r =v v v（3） 齿轮啮合方程表示为(,)sin 0f r μφμφα=-= （4）变换矩阵为21cos sin (cos sin )=sin cos (sin cos )01r M r φφφφφφφφφφ-+⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）由方程（1）（2）（3）方程可以推导出被加工齿轮齿形的表达式22sin()(sin cos )cos()(cos sin )sin 0x r y r r μφαφφφμφαφφφμφα=++-⎧⎪=+++⎨⎪-=⎩（6）方程（6）用参数μ和φ以双参数形式表示被加工齿形。

从方程（6）中可以消去μ，故得到被加工齿形表达式22sin cos cos()cos cos sin()x r r y r r φφαφαφφαφα=-+⎧⎨=++⎩ （7）方程（7）表示一条渐开线，它对应半径为cos b r r α=的基圆。