v
v r1


式1
图1
物理学
五版
式1可直接用行列式展开，获得
i1 v r1 0


j1 0
z1

y1 i1 x1 j1


式2
x1
y1 z1
式2的数学处理是直观的，也是清晰的。
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现在的间题是要根据运动情况再予以分析 与静座标

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d i1 d d d i 0 cos j0 sin i 0 sin j0 cos dt dt dt dt d d sin (i1 cos j1 sin ) cos (i1 sin j1 cos ) dt dt d j1 式5 dt
(2) i
(1)
( 2)
(i 1, f , 2) (2.1.9)
下脚标 i 表明该矢量表示在坐标系 S i 中。
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滑动速度的矩阵表示是矢量表示以外的另一种方法。矩阵表示
的优点是能够使推导条理化，并可用计算机进行处理。
我们用相错轴之间传递运动的实例来说明这种方法。 坐标系 S1 和 S2 刚性固接在齿轮 1 和齿轮 2 上；坐标系 S f ， Sm 和 S p 刚性固接在齿轮的箱体上。假定配对齿轮的两齿面在点 M 处相 切触。位置矢量 r 和 分别从原点 O1 和 O2 引到点 M。显然
r E
式中
（2.2.1）
E OO 1 2
。
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我们可以在 S2 和 S1 中将 表示如下
x2i2 y2 j2 z2k2
r1 L1 f E f
[ x1 X1 (1 )]i1 [ y1 Y1 (1 )] j1 [ z1 Z1 (1 )]k1
（2.1.6）
v (12) [((1) (2) ) r ] (E (2) )
式中 E O f O2 , r O f M .
构件 2 的点 M 对构件 1 的点 M 的相对速度 v
(21)
(2.1.7)
为 (2.1.8)
v (21) v (12) [((2) (1) ) r ] ( E (2) )
(2)
，矢量矩为 (2.1.4)
(2)
m R (2)
这里，R 是从 O f 引到
'
的作用线上任一点 O2 的位置矢量。 例如， 我们可以选取 O2 与 O2
'
相重合和 R O f O2 E 。
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要注意，矢量矩 m 具有线速度的单位和物理意义。用通过点 O f 的相等
(2) (2) m v 矢量和矢量矩 替换 ，我们可以将速度 表示如下
' 考虑到 R O f O2 O f O2和r O f O2 ， 不难证明方程 （2.1.3） 和 （2.1.5）
是相等的。这样，我们得到
v (2) (2) (r R) (2)
(12) v 相对速度 的最终表达式可表示如下
（i） 2 ( x2 , y2 , z2 ) ，即坐标 ( x2 , y2 , z2 ) 的变化将被观察者看作是坐 标系 S1 的点 M 相对于坐标系 S2 的位移。
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（ii）因此，2 将被看作是坐标系 S1 的点 M 1 对坐标系 S2 的点 M 2 的 相对速度 v
(12)
。
(12) v 我们的目标是要将滑动速度 表示在 S1 中。利用从 S2 到 S1 的
同理，我们可用
(1)
(2.1.2) 的作用线上的任一点 ,
v (2) (2)
表示速度 v
(2)
(2.1.3)
(2)
，式中 是从
的作用线上的任一点，例如点 O2 ，引到点 M 的矢量。v
'
(2)
的另一方程基于用一个通过 O f 的相等矢量和一个矢量矩来替换具有作用线 O2 O2 的滑动 矢量
u 是S'系相对S系
运动的速度
ut o '
xx ' t t
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yy '
r r ' D 或 r r ' ut
速度变换
位移关系
oo'
P* P'
r r ' u t t v v' u
y
o
y' u Q
r
P D
P'
t 0
xx '
r '
ut o '
xx ' t t
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伽利略速度变换 v v u 绝对速度 v v dr 相对速度 绝对速度 v 牵连速度 u dt dr 加速度关系 相对速度 v dt dv dv' du 牵连速度 u dt dt dt 注意： 当 u 接近光速时， d u 速度变换不成立． 0 a a' 若 dt
L21 (r1 L1 f E f ) L2 p Lpm Lmf L f 1r1 L2 p Lpm Lmf E f
(2.2.6)
(12) v 方程（ 2.2.6 ）是推导滑动速度 的基式。假定点 M 和 S1 刚性固接，
r1 ( x1 , y1 , z1 ) 是常数，表示最短距离的矢量 E f
v f(12) ( L fp Lp 2 L2 p Lpf L f 1L1 f )rf L fp Lp 2 L2 p Lpf E f
（2.2.10）
(12) v 利用类似的推导，我们可以将 表示在坐标系 S2 中。
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2.3.1 齿轮上任一固定点的速度
研究齿轮上任一固定点的速度 是研究齿轮啮合原理中速度问题的 基础，要首先弄清。不访将齿轮任 一固定点设置在齿廓上。如图1所 示，设齿廓上一固定点M的线速度 向量为
(2.2.2)
(2.2.3)
这里， L1 f 是描述从 S f 到 S1 的坐标变换的 3X3 子矩阵； ( x1 , y1 , z1 ) 是点 M 在 S1 中的坐标；X1 (1 ) ，Y1 (1 ) 和 Z1 (1 ) 是 O2 在 S1 中的坐标 （ E OO 1 2 的 分量） 。 在特殊情况下
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2.2 相对速度的表示方法
2.2.1 矢量法
(2) (1) 假定两个构件分别以角速度 和
绕相错轴转
(1) 动。矢量 通过固定坐标系 S f 的原点， S f 刚性固结
在齿轮的机架上。相错角为 ，最短距离为 E。点 M 是
(1) M 两个转动构件的公共点。构件 1 的点 (2) M 点 的相对速度用方程
对构件 2 的
v (12) v (1) v (2)
（2.2.1）
(1) (i ) v M 表示，式中 是构件 i 的点 的速度（i=1，2） 。
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速度 v
(1)
用方程
v (1) (1) r
表示，式中 r 是位置矢量，该矢量是从 例如点 O f ，引到点 M 的矢量。
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物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
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2.2 相对速度
质点在相对作 匀速直线运动的两 个坐标系中的位移 S系 (Oxyz) 基本参考系 S ' 系 (O'x'y'z' ) 运动参考系
yy '
oo'
P* P'
y
o
y' u Q
r
P D
P'
t 0
xx '
r '
对时间求导。于是，可以得到
也是常数，我们令方程（2.2.6）
2 ( L2 p Lpm Lmf L f 1 L2 p Lpm Lmf L f 1 )r1 L2 p Lpm Lmf E f
度。这样的论点基于以下理由。
（2.2.7）
我们可以把 2 理解为位于坐标系 2 中的观察者将会看到的点 M 的速
(1)
的相对速度是切触点 M 处齿面 1 相对于 2 的滑动速度。
(12) v 滑动速度矢量速度 可以表示在 S f ， S1 和 S2 三个坐标系中的任
一个。为了辨别滑动速度是在哪一个坐标系中表示的，我们将利用
v (12) 的下列表达式
vi
(12)
[(i ) ri ] ( Ei i )
E f [ E 0 0]T
Y1 (1 ) E sin1 Z1 (1 ) 0
（2.2.4）
1 并且 L1 f 对应于 S1 相对于 S f 的方向，这样，我们有 X1 (1 ) E cos
(2.2.5)
1 和 2 之间的关系，可以用以下矩阵方程表示
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2 L211
坐标变换，我们得到
v1(12) L12 2 L1 f L fm Lmp Lp 2 2
从Lp 2 L2 p Lp12 L1 f L f 1 )r1 L1 p Lp 2 L2 p Lp1E1
（2.2.8）
（2.2.9）

d j1 d i1 dt dt
d z0 d z1 0 dt dt


式6
式7
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将式5、式6、式7代入下式

d r1 d i1 d j1 d k1 v x1 y1 z1 dt dt dt dt